【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)F是AC邊上的中點(diǎn),DC⊥BC,與BF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D,AE平分∠BAC交BF于點(diǎn)E.
(1)求證:AE∥DC;
(2)若BD=8,求AD的長(zhǎng);
(3)若∠BAC=30°,AC=12,點(diǎn)P是射線CD上一點(diǎn),求CP+AP的最小值.
【答案】(1)見解析;(2)4;(3)6
【解析】
(1)根據(jù)等腰三角形的“三線合一”得AN⊥BC,再利用平行線的性質(zhì)即可證明AE∥CD;
(2)連接CE,由等腰三角形的“三線合一”得出BN=CN,結(jié)合AN∥CD和CD⊥BC得到CE=BD,再由AE∥CD和F為AC的中點(diǎn)證明△AEF≌△CDF,進(jìn)而得到四邊形AECD是平行四邊形,所以AD=CE即可解答;
(3)在∠ACD外作∠DCG=30°,過CD上一點(diǎn)P1作P1M1⊥CG于M1,連接AP1,過點(diǎn)A作AM⊥CG交CD于點(diǎn)P.則P1M1=CP1,PM=CP,利用垂線段最短得知AM的長(zhǎng)度為所求的最小值,進(jìn)而在Rt△ACM中求得AM即可.
證明:(1)延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)N.
∵AB=AC,AE平分∠BAC,∴AN⊥BC.
又∵CD⊥BC,
∴AE∥CD
(2)連接CE.
∵AB=AC,AE平分∠BAC,
∴BN=CN.
又∵AN∥CD,
∴BE=ED.
∵∠BCD=90°,
∴CE=BD
∵F是AC中點(diǎn),
∴AF=CF.
∴AE∥CD.
∴∠EAC=∠DCA,∠AED=∠CDE.
∴△AEF≌△CDF(AAS).
∴EF=DF.
又AF=CF,
∴四邊形AECD是平行四邊形.
∴AD=CE=BD,
∵BD=8,
∴AD=4
(3)在∠ACD外作∠DCG=30°.
過CD上一點(diǎn)P1作P1M1⊥CG于M1,連接AP1,過點(diǎn)A作AM⊥CG交CD于點(diǎn)P.
在Rt△CP1M1和Rt△CPM中,∠DCG=30°,則P1M1=CP1,PM=CP.
∴CP1+AP1=P1M1+AP1,CP+AP=PM+AP=AM.
由“垂線段最短”可得P1M1+AP1≥AM,當(dāng)A、P、M三點(diǎn)共線且AM⊥CM時(shí),CP+AP最。
∵∠BAC=30°,AE平分∠BAC,
∴∠EAC=15°.
∵AE∥CD,
∴∠DCA=∠EAC=15°.
∴∠ACM=∠ACD+∠DCM=45°.
在等腰Rt△ACM中,AC=12,
由勾股定理得2AM2=AC2=122
∴AM=6.
∴CP+AP的最小值是6.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,以Rt△ABC的AC邊為直徑作⊙O交斜邊AB于點(diǎn)E,連接EO并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,點(diǎn)F為BC的中點(diǎn),連接EF和AD.
(1)求證:EF是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為2,∠EAC=60°,求AD的長(zhǎng).
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)為C(2,﹣1),與x軸交于A,B兩點(diǎn),OA=3;
(1)求此拋物線的解析式;
(2)如圖1,一次函數(shù)y=﹣x+3圖象交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)D,連結(jié)AC、BD,在x軸上有一點(diǎn)Q,使△AQC 與△ABD相似,求出點(diǎn)Q坐標(biāo);
(3)如圖2,在直線y=kx -1(k>0)上是否存在唯一一點(diǎn)P,使得∠APB=90°?若存在,請(qǐng)直接寫出此時(shí)k的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】如圖,在一個(gè)18米高的樓頂上有一信號(hào)塔DC,李明同學(xué)為了測(cè)量信號(hào)塔的高度,在地面的A處測(cè)的信號(hào)塔下端D的仰角為30°,然后他正對(duì)塔的方向前進(jìn)了18米到達(dá)地面的B處,又測(cè)得信號(hào)塔頂端C的仰角為60°,CD⊥AB與點(diǎn)E,E、B、A在一條直線上.請(qǐng)你幫李明同學(xué)計(jì)算出信號(hào)塔CD的高度(結(jié)果保留整數(shù),≈1.7,≈1.4 )
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0),以為直角邊作,并使,再以為直角邊作,并使,再以為直角邊作,并使……按此規(guī)律進(jìn)行下去,則點(diǎn)的坐標(biāo)為_________.
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【題目】新冠疫情爆發(fā)后,各地啟動(dòng)了抗擊新冠肺炎的一級(jí)應(yīng)急響應(yīng)機(jī)制,某社區(qū)20位90后積極參與社區(qū)志愿者工作,充分展示了新時(shí)代青年的責(zé)任擔(dān)當(dāng),這20位志愿者的年齡統(tǒng)計(jì)如表,則他們年齡的眾數(shù)和中位數(shù)分別是( 。
A.25歲,25歲B.25歲,26歲C.26歲,25歲D.26歲,26歲
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【題目】某中學(xué)準(zhǔn)備隨機(jī)選出七、八、九三個(gè)年級(jí)各1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)校國(guó)旗升旗手.現(xiàn)已知這三個(gè)年級(jí)每個(gè)年級(jí)分別選送一男、一女共6名學(xué)生作為備選人.
(1)請(qǐng)你利用樹狀圖或表格列出所有可能的選法;
(2)求選出“一男兩女”三名國(guó)旗升旗手的概率.
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【題目】如圖,在⊙O中,直徑AB垂直弦CD于E,過點(diǎn)A作∠DAF=∠DAB,過點(diǎn)D作AF的垂線,垂足為F,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,連接CO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)G,連接EG,已知DE=4,AE=8.
(1)求證:DF是⊙O的切線;
(2)求證:OC2=OEOP;
(3)求線段EG的長(zhǎng).
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