Question

如圖，已知平行四邊形ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF交于H，BF、AD的延長(zhǎng)線交于G，下面結(jié)論正確的是（　�。�
①DB=

2

BE； 
②∠A=∠BHE；
③連CG，則四邊形BCGD為平行四邊形；
④AD²+DH²=2DC²．

• A、①②③④
• B、①②③
• C、①②④
• D、②③④

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì),勾股定理

專(zhuān)題：

分析：①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可判斷；
②通過(guò)三角形全等和平行四邊形的性質(zhì)即可判斷；
③根據(jù)平行四邊形的判定方法即可判斷；
④通過(guò)線段的等量代換即可求得結(jié)果；

解答：解：∵∠BDE=45°，DE⊥BC，
∴DB=

2

BE，BE=DE．
∵DE⊥BC，BF⊥CD，
∴∠BEH=∠DEC=90°．
∵∠BHE=∠DHF，
∴∠EBH=∠CDE，
∴△BEH≌△DEC，
∴∠BHE=∠C，BH=CD，EH=EC，
∵?ABCD中，
∴AD=BC，∠A=∠C，
∴∠A=∠BHE，
∴AD²+DH²=BC²+DH²=（BE+EC）²+（DE-HE）²=（BE+HE）²+（BE-HE）²=2BE²+2HE²=2（BE²+HE²）=2BH²=2DC²，
∴正確的有①②④．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用等．