Question

【題目】如圖，直線(xiàn)y=﹣x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．拋物線(xiàn)y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）點(diǎn)P是第一象限拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，連接OP交直線(xiàn)AB于點(diǎn)Q．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，PQ與OQ的比值為y，求y與m的關(guān)系式，并求出PQ與OQ的比值的最大值；

（3）點(diǎn)D是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的一動(dòng)點(diǎn)，連接OD、CD，設(shè)△ODC外接圓的圓心為M，當(dāng)sin∠ODC的值最大時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線(xiàn)解析式為y=﹣x2+x+3；（2）y=﹣m2+m，PQ與OQ的比值的最大值為；（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1，）或（﹣1，﹣）．

【解析】

（1）根據(jù)直線(xiàn)解析式求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式求解可得；

（2）過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線(xiàn)交AB于點(diǎn)E，據(jù)此知△PEQ∽△OBQ，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例得y=PE，由P（m，﹣m2+m+3）、E（m，﹣m+3）得PE=﹣m2+m，結(jié)合y=PE可得函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)性質(zhì)得其最大值；

（3）設(shè)CO的垂直平分線(xiàn)與CO交于點(diǎn)N，知點(diǎn)M在CO的垂直平分線(xiàn)上，連接OM、CM、DM，根據(jù)∠ODC=∠CMO=∠OMN、MC=MO=MD知sin∠ODC=sin∠OMN=，當(dāng)MD取最小值時(shí)，sin∠ODC最大，據(jù)此進(jìn)一步求解可得．

（1）在y=﹣x+3中，令y=0得x=4，令x=0得y=3，

∴點(diǎn)A（4，0）、B（0，3），

把A（4，0）、B（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得：

，

解得：，

∴拋物線(xiàn)解析式為y=﹣x2+x+3；

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線(xiàn)交AB于點(diǎn)E，

則△PEQ∽△OBQ，

∴，

∵=y、OB=3，

∴y=PE，

∵P（m，﹣m2+m+3）、E（m，﹣m+3），

則PE=（﹣m2+m+3）﹣（﹣m+3）=﹣m2+m，

∴y=（﹣m2+m）=﹣m2+m=﹣（m﹣2）2+，

∵0＜m＜3，

∴當(dāng)m=2時(shí)，y最大值=，

∴PQ與OQ的比值的最大值為；

（3）如圖，由拋物線(xiàn)y=﹣x2+x+3易求C（﹣2，0），對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1，

∵△ODC的外心為點(diǎn)M，

∴點(diǎn)M在CO的垂直平分線(xiàn)上，

設(shè)CO的垂直平分線(xiàn)與CO交于點(diǎn)N，連接OM、CM、DM，

則∠ODC=∠CMO=∠OMN、MC=MO=MD，

∴sin∠ODC=sin∠OMN=，

又MO=MD，

∴當(dāng)MD取最小值時(shí)，sin∠ODC最大，

此時(shí)⊙M與直線(xiàn)x=1相切，MD=2，

MN==，

∴點(diǎn)M（﹣1，﹣），

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，另一點(diǎn)（﹣1，）也符合題意；

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1，）或（﹣1，﹣）．