Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AB=4，AC=2

3

，D是半圓上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)C作CE⊥DC，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求BE的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,勾股定理,解直角三角形

專題：

分析：要求BE最長(zhǎng)值，則CD必須是直徑，連接BC．BD，由AB是直徑，根據(jù)圓周角定理得出∠ACB=90°，∠ADB=90°，解直角三角形求得∠CAB=30°，∠CBA=60°，BC=

1

2

AB=2，根據(jù)圓周角定理求得∠CDE=∠ABC=60°，進(jìn)而求得BD=2

3

，DE=8，再根據(jù)勾股定理即可求得．

解答：解：當(dāng)CD是直徑時(shí)，BE最長(zhǎng)，
連接BC．BD，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，∠ADB=90°，
在R△ABC中，COSA=

AC

AB

=

2 3

4

=

3

2

，
∴∠CAB=30°，BC=

1

2

AB=2，
∵CD是直徑，
∴∠CBD=90°，CD=4，
∴BD=

CD2-BC2

=

42-22

=2

3

，
∵∠CBA=90°-30°=60°，
∴∠CDE=∠ABC=60°，
∵CE⊥DC，
∴DE=2CD=2×4=8，
在RT△BDE中，BE=

82+( 3 )2

=2

19

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理，解直角三角形，勾股定理的應(yīng)用，題目是一道比較好的題目，難度適中．