Question

【題目】如圖，已知，在銳角△ABC中，CE⊥AB于點E，點D在邊AC上，聯(lián)結(jié)BD交CE于點F，且EF·FC=FB·DF.

（1）求證：BD⊥AC；

（2）聯(lián)結(jié)AF，求證：AF·BE=BC·EF.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】試題分析：（1）由兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似，可得△EFB∽△DFC，再由相似三角形對應(yīng)角相等得∠FEB=∠FDC = 90°，即可得證；

（2）由△EFB∽△DFC得∠ABD =∠ACE，進而△AEC∽△FEB，由相似三角形對應(yīng)邊成比例得，由此△AEF∽△CEB，可得.

試題解析：（1）∵AF·BE=BC·EF ，

∴，

∵ ∠EFB=∠DFC，

∴ △EFB∽△DFC.

∴ ∠FEB=∠FDC.

∵ CE⊥AB，

∴ ∠FEB= 90°.

∴ ∠FDC= 90°.

∴ BD⊥AC.

（2）∵ △EFB∽△DFC，

∴ ∠ABD =∠ACE.

∵ CE⊥AB，

∴ ∠FEB= ∠AEC= 90°.

∴ △AEC∽△FEB.

∴,

∴.

∵ ∠AEC=∠FEB= 90°，

∴ △AEF∽△CEB.

∴，

∴.