Question

【題目】如圖1，點(diǎn)P是菱形ABCD的對(duì)角線BD上的一動(dòng)點(diǎn)，連接CP并延長(zhǎng)交AD于E，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

（1）求證：△APD≌△CPD；

（2）如圖2，當(dāng)菱形ABCD變?yōu)檎�方形，�?/span>PC=2，tan∠PFA=時(shí)，求正方形ABCD的邊長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得：AD=CD，∠ADP=∠CDP，根據(jù)SAS即可證明△APD≌△CPD；

（2）先根據(jù)tan∠PFA，設(shè)BC=a，則BF=2a，證明△DPC∽△BPF，得，求FC=6，根據(jù)勾股定理列方程得：62=a2+（2a）2，可得正方形ABCD的邊長(zhǎng)．

（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=CD，∠ADP=∠CDP．

在△APD和△CPD中，∵，∴△APD≌△CPD（SAS）；

（2）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，CD=BC．

∵tan∠PFA，設(shè)BC=a，則BF=2a．

∵DC=BC=a，DC∥BF，∴∠DCP=∠PFB，∠CDP=∠PBF，∴△DPC∽△BPF，∴．

∵PC=2，∴PF=4，∴FC=PC+PF=6．

在Rt△FCB中，FC2=BC2+FB2，∴62=a2+（2a）2，解得：a或（舍），∴正方形ABCD的邊長(zhǎng)為．