【題目】定義:
數學活動課上,李老師給出如下定義:如果一個三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半,那么稱三角形為“智慧三角形”.
理解:
⑴如圖,已知是⊙上兩點,請在圓上找出滿足條件的點,使為“智慧三角形”(畫出點的位置,保留作圖痕跡);
⑵如圖,在正方形中,是的中點,是上一點,且,試判斷是否為“智慧三角形”,并說明理由;
運用:
⑶如圖,在平面直角坐標系中,⊙的半徑為,點是直線上的一點,若在⊙上存在一點,使得為“智慧三角形”,當其面積取得最小值時,直接寫出此時點的坐標.
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)P的坐標(﹣,),(,).
【解析】試題分析:(1)連結AO并且延長交圓于C1,連結BO并且延長交圓于C2,即可求解;(2)設正方形的邊長為4a,表示出DF=CF以及EC、BE的長,然后根據勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2,再根據勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形,由直角三角形的性質可得△AEF為“智慧三角形”;(3)根據“智慧三角形”的定義可得△OPQ為直角三角形,根據題意可得一條直角邊為1,當斜邊最短時,另一條直角邊最短,則面積取得最小值,由垂線段最短可得斜邊最短為3,根據勾股定理可求另一條直角邊,再根據三角形面積可求斜邊的高,即點P的橫坐標,再根據勾股定理可求點P的縱坐標,從而求解.
試題解析:
(1)如圖1所示:
(2)△AEF是否為“智慧三角形”,
理由如下:設正方形的邊長為4a,
∵E是DC的中點,
∴DE=CE=2a,
∵BC:FC=4:1,
∴FC=a,BF=4a﹣a=3a,
在Rt△ADE中,AE2=(4a)2+(2a)2=20a2,
在Rt△ECF中,EF2=(2a)2+a2=5a2,
在Rt△ABF中,AF2=(4a)2+(3a)2=25a2,
∴AE2+EF2=AF2,
∴△AEF是直角三角形,
∵斜邊AF上的中線等于AF的一半,
∴△AEF為“智慧三角形”;
(3)如圖3所示:
由“智慧三角形”的定義可得△OPQ為直角三角形,
根據題意可得一條直角邊為1,當斜邊最短時,另一條直角邊最短,則面積取得最小值,
由垂線段最短可得斜邊最短為3,
由勾股定理可得PQ=,
PM=1×2÷3=,
由勾股定理可求得OM=,
故點P的坐標(﹣,),(,).
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】我們知道“對于實數m,n,k,若m=n,n=k,則m=k”,即相等關系具有傳遞性.小敏由此進行聯想,提出了下列命題:
①a,b,c是直線,若a∥b,b∥c,則a∥c.
②a,b,c是直線,若a⊥b,b⊥c,則a⊥c.
③若∠α與∠β互余,∠β與∠γ互余,則∠α與∠γ互余.
其中正確的命題是( 。
A.①B.①②C.②③D.①②③
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,點D,E分別在AC,BC上,且∠CDE=∠B,將△CDE沿DE折疊,點C恰好落在AB邊上的點F處.若AC=8,AB=10,則CD的長為 .
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】中華文化,源遠流長,在文學方面,《西游記》、《三國演義》、《水滸傳》、《紅樓夢》是我國古代長篇小說中的典型代表,被稱為“四大古典名著”,某中學為了了解學生對四大古典名著的閱讀情況,就“四大古典名著你讀完了幾部”的問題做法全校學生中進行了抽樣調查,根據調查結果繪制城如圖所示的兩個不完整的統(tǒng)計圖,請結合圖中信息解決下列問題:
(1)本次調查所得數據的眾數是 部,中位數是 部,扇形統(tǒng)計圖中“1部”所在扇形的圓心角為 度.
(2)請將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)沒有讀過四大古典名著的兩名學生準備從四大固定名著中各自隨機選擇一部來閱讀,則他們選中同一名著的概率為 .
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知正比例函數y=3x的圖象與反比例函數y= 的圖象交于點A(1,m)和點B.
(1)求m的值和反比例函數的解析式.
(2)觀察圖象,直接寫出使正比例函數的值大于反比例函數的值的自變量x的取值范圍.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】某工廠有甲種原料,乙種原料,現用兩種原料生產處兩種產品共件,已知生產每件產品需甲種原料,乙種原料,且每件產品可獲得元;生產每件產品甲種原料,乙種原料,且每件產品可獲利潤元,設生產產品 件(產品件數為整數件),根據以上信息解答下列問題:
(1)生產兩種產品的方案有哪幾種?
(2)設生產這件產品可獲利元,寫出關于的函數解析式,寫出(1)中利潤最大的方案,并求出最大利潤.
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