Question

如圖，對稱軸為x=1的拋物線y=x²+bx+c的圖象與x軸的一個交點為B（3，0），另一個交點為A，與y軸交于點E，且經(jīng)過點C（4，m）．
（1）求直線AC及拋物線的解析式；
（2）連接OC、CB，若點P在拋物線上，且S_△POE=

1

2

S_△BOC，求點P的坐標；
（3）若點Q是線段AC上的動點，作QF⊥x軸交拋物線于F，求線段QF長度的最大值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由拋物線y=x²+bx+c的對稱軸為x=1，可得b=-2，把B（3，0）代入y=x²-2x+c，得c=-3，即可得出拋物線的解析式，把C（4，m）代入y=x²-2x-3，得m=5，由A，C點的坐標，得出AC的解析式為y=x+1，
（2）先由點B，點C的坐標求出S_△BOC的值，再由S_△POE=

1

2

S_△BOC求出S_△POE的值，設(shè)P（t，t²-2t-3），求出t的值即可求出點P的坐標．
（3）設(shè)Q（a，a+1），F(xiàn)（a，a²-2a-3），可得|QF|=a+1-（a²-2a-3）=-（a-

3

2

）²+

25

4

，即可求出線段QF長度的最大值為

25

4

．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c的對稱軸為x=1，
∴-

b

2a

=-

b

2

=1，
∴b=-2，
∵拋物線y=x²+bx+c的圖象與x軸的一個交點為B（3，0），
∴把B（3，0）代入y=x²-2x+c，得c=-3，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3，
令0=x²-2x-3得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），
把C（4，m）代入y=x²-2x-3，得m=5，
∴C（4，5），
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，把A（-1，0），C（4，5）代入，得AC的解析式為y=x+1，
（2）S_△BOC=

1

2

×3×5=

15

2

，
∴S_△PDE=

1

2

S_△BOC=

15

4

∵E（0，3），
設(shè)P（t，t²-2t-3），
∴S_△PDE=

1

2

×3×|t|=

15

4

，
|t|=

5

2

，
P₁=（

5

2

，-

7

4

），P₂（-

5

2

，

33

4

），
（3）設(shè)Q（a，a+1），
∴F（a，a²-2a-3）
∴|QF|=a+1-（a²-2a-3）=-a²+3a+4=-（a-

3

2

）²+

25

4

∴線段QF長度的最大值為

25

4

．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識求解．