Question

□ABCD中，點(diǎn)E是BC上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），點(diǎn)F是CD上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合）．
（1）如圖1，若AE=AF，求證：CE=CF．
（2）如圖2，若∠BAE=30°，∠DAF=15°，試猜想EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．
（3）如圖3，若∠EAF=45°，連結(jié)BD，交AE于M、交AF于N，請(qǐng)?zhí)骄緽M、MN、DN之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)正方形的四條邊都相等可得AB=BC=CD=AD，然后利用“HL”證明Rt△ABE和Rt△ADF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE=DF，從而得證；
（2）將△ADF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AH=AF，BH=DF，∠BAH=∠DAF，然后求出∠EAH=∠EAF=45°，再利用“邊角邊”證明△AEF和△AEH全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EH=EF，再根據(jù)EH=BE+BH等量代換即可得證；
（3）將△ADN繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABK，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AN=AK，BK=DN，∠BAK=∠DAN，∠ABK=∠ADN=45°，然后求出∠MAN=∠MAK=45°，再利用“邊角邊”證明△AMN和△AMK全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得MN=MK，再求出∠MBK=90°，然后利用勾股定理列式即可．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，

AE=AF AB=AD

，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∴BC-BE=CD-DF，
即CE=CF；

（2）如圖，將△ADF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AH=AF，BH=DF，∠BAH=∠DAF，
∵∠BAE=30°，∠DAF=15°，
∴∠EAH=∠EAF=45°，
在△AEF和△AEH中，

AH=AF ∠EAH=∠EAF=45° AE=AE

，
∴△AEF≌△AEH（SAS），
∴EH=EF，
∵EH=BE+BH，
∴EF=BE+DF；

（3）如圖，將△ADN繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABK，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AN=AK，BK=DN，∠BAK=∠DAN，∠ABK=∠ADN=45°，
∵∠EAF=45°，
∴∠MAN=∠MAK=45°，
在△AMN和△AMK中，

AN=AK ∠MAN=∠MAK=45° AM=AM

，
∴△AMN≌△AMK（SAS），
∴MN=MK，
∵∠MBK=∠ABD+∠ABK=45°+45°=90°，
∴BM²+BK²=MK²，
∴BM²+DN²=MN²．

點(diǎn)評(píng)：本題是四邊形綜合題型，主要利用了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在于利用旋轉(zhuǎn)變換作輔助線構(gòu)造出全等三角形．