【題目】如果一個(gè)三角形的兩條邊的和是第三邊的兩倍,則稱這個(gè)三角形是優(yōu)三角形,這兩條邊的比稱為優(yōu)比(若這兩邊不等,則優(yōu)比為較大邊與較小邊的比),記為.

1)命題:等邊三角形為優(yōu)三角形,其優(yōu)比為1”,是真命題還是假命題?

2)已知為優(yōu)三角形,,

①如圖1,若,,,求的值.

②如圖2,若,求優(yōu)比的取值范圍.

3)已知是優(yōu)三角形,且,求的面積.

【答案】1)該命題是真命題,理由見(jiàn)解析;(2)①a的值為;②k的取值范圍為;(3的面積為

【解析】

1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、優(yōu)三角形和優(yōu)比的定義即可判斷;

2)①先利用勾股定理求出c的值,再根據(jù)優(yōu)三角形的定義列出的等式,然后求解即可;

②類似①分三種情況分析,再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得出每種情況下之間的關(guān)系,然后根據(jù)優(yōu)比的定義求解即可;

3)如圖(見(jiàn)解析),設(shè),先利用直角三角形的性質(zhì)、勾股定理求出ACAB的長(zhǎng)及面積的表達(dá)式,再類似(2),根據(jù)優(yōu)三角形的定義分三種情況分別列出等式,然后解出x的值,即可得出的面積.

1)該命題是真命題,理由如下:

設(shè)等邊三角形的三邊邊長(zhǎng)為a

則其中兩條邊的和為2a,恰好是第三邊a2倍,滿足優(yōu)三角形的定義,即等邊三角形為優(yōu)三角形

又因該兩條邊相等,則這兩條邊的比為1,即其優(yōu)比為1

故該命題是真命題;

2)①

根據(jù)優(yōu)三角形的定義,分以下三種情況:

當(dāng)時(shí),,整理得,此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根

當(dāng)時(shí),,解得

當(dāng)時(shí),,解得,不符題意,舍去

綜上,a的值為;

②由題意得:均為正數(shù)

根據(jù)優(yōu)三角形的定義,分以下三種情況:(

當(dāng)時(shí),則

由三角形的三邊關(guān)系定理得

,解得,即

故此時(shí)k的取值范圍為

當(dāng)時(shí),則

由三角形的三邊關(guān)系定理得

,解得,即

故此時(shí)k的取值范圍為

當(dāng)時(shí),則

由三角形的三邊關(guān)系定理得

,解得,即

故此時(shí)k的取值范圍為

綜上,k的取值范圍為;

3)如圖,過(guò)點(diǎn)A,則

設(shè)

是優(yōu)三角形,分以下三種情況:

當(dāng)時(shí),即,解得

當(dāng)時(shí),即,解得

當(dāng)時(shí),即,整理得,此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根

綜上,的面積為

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AB兩地相距1000千米;②兩車(chē)出發(fā)后3小時(shí)相遇;③普通列車(chē)的速度是100千米/小時(shí);④動(dòng)車(chē)從A地到達(dá)B地的時(shí)間是4小時(shí).

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(1)求k的值;

(2)如圖①,若點(diǎn)Px軸上的動(dòng)點(diǎn),連接PEPD,DE,當(dāng)DEP的周長(zhǎng)最短時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)如圖②,若點(diǎn)Qx,y)在該反比例函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)(不與D重合),過(guò)點(diǎn)QQMy軸,垂足為M,作QNBC所在直線,垂足為N,記四邊形CMQN的面積為S,求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出x的取值范圍.

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C. 3個(gè)

D. 4個(gè)

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