Question

如圖，BE、CF是△ABC的兩條高，它們相交于點Q，CQ=AB，連結(jié)AQ，延長BE到P，使BP=AC．
（1）猜想AQ與PA的大小關(guān)系，并說明理由；
（2）按三角形內(nèi)角判斷△QAP的類型，并說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）易證∠ABQ=∠ACQ，即可證明△ABP≌△QCA，可得AQ=AP，即可解題；
（2）易證∠CAQ=∠P和∠AQP=∠CAQ，即可求得∠P=∠AQP=∠CAQ=45°，即可解題．

解答：證明：如圖：

（1）∵∠BQF+∠ABQ=90°，∠ACQ+∠CQE=90°，∠BQF=∠CQE，
∴∠ABQ=∠ACQ，
在△ABP和△QCA中，

AB=CQ ∠ABQ=∠ACQ BP=AC

，
∴△ABP≌△QCA（SAS），
∴AQ=AP；
（2）∵△ABP≌△QCA，
∴∠CAQ=∠P，
∵AQ=AP，
∴∠AQP=∠P，
∴∠AQP=∠CAQ，
∵∠AEQ=90°，
∴∠P=∠AQP=∠CAQ=45°，
∴△QAP為等腰直角三角形．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證△ABP≌△QCA是解題的關(guān)鍵．