Question

已知：如圖，AE是⊙O的直徑，C是AE延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且EC=

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AE，CB與⊙O相切于點(diǎn)B，弦AD∥BC，連接CD．
（1）四邊形ABCD是菱形嗎？為什么？
（2）試說(shuō)明CD是⊙O的切線．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,菱形的判定

專題：

分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)，由CB與⊙O相切于點(diǎn)B得到OB⊥BC，在利用AE是⊙O的直徑，EC=

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AE得到OE=CE，在Rt△OBC中，由于OB=

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OC，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到∠BCO=30°，∠BOC=60°，則BC=

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OB，接著利用三角形外角性質(zhì)得∠BOC=∠OAB+∠OBC，可計(jì)算出∠OAB=30°，所以BA=BC，再利用AD∥BC得到∠DAC=∠BCA=30°，然后由AE是⊙O的直徑得到∠ADE=90°，所以DE=

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AE，即DE=OD，AD=

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DE=

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OD，因此AD=BC，則可判斷四邊形ABCD為平行四邊形，加上BA=BC，則可判斷四邊形ABCD是菱形；
（2）由四邊形ABCD是菱形得到CB=CD，再證明△OBC≌△ODC得到∠OBC=∠ODC=90°，于是根據(jù)切線的判定定理可得CD是⊙O的切線．

解答：解：（1）四邊形ABCD是菱形．理由如下：
∵CB與⊙O相切于點(diǎn)B，
∴OB⊥BC，
∵AE是⊙O的直徑，EC=

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AE，
∴OE=CE，
在Rt△OBC中，∵OB=

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OC，
∴∠BCO=30°，∠BOC=60°，BC=

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OB，
而∠BOC=∠OAB+∠OBC，
∴∠OAB=30°，
∴BA=BC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA=30°，
∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ADE=90°，
∴DE=

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2

AE，即DE=OD，
∴AD=

3

DE=

3

OD，
∴AD=BC，
而AD∥BC，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
而B(niǎo)A=BC，
∴四邊形ABCD是菱形；
（2）CD是⊙O的切線．理由如下：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CB=CD，
在△OBC和△ODC中，

CB=CD CO=CO OB=OD

，
∴△OBC≌△ODC，
∴∠OBC=∠ODC=90°，
∴OD⊥DC，
∴CD是⊙O的切線．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；在判定一條直線為圓的切線時(shí)，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點(diǎn)時(shí)，常過(guò)圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長(zhǎng)等于半徑；當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過(guò)該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．也考查了菱形的判定．