【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)y=x+m (m為常數(shù))的圖像與x軸交于點(diǎn)A(-3,0),與y軸交于點(diǎn)C.以直線x=1為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),且a≠0)經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn),并與x軸的正半軸交于點(diǎn)B.
(1)求m的值及拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)若P是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn),△ACP周長(zhǎng)最小時(shí),求出P的坐標(biāo);
(3)是否存在拋物在線一動(dòng)點(diǎn)Q,使得△ACQ是以AC為直角邊的直角三角形?若存在,求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(4)在(2)的條件下過(guò)點(diǎn)P任意作一條與y軸不平行的直線交拋物線于M1(x1,y1),M2(x2,y2)兩點(diǎn),試問(wèn)是否為定值,如果是,請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果,如果不是請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】解:(1)∵y=x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-3,0),
∴0=+m,解得m=,
∴直線解析式為y=x+,C(0,).
∵拋物線y=ax2+bx+c對(duì)稱(chēng)軸為x=1,且與x軸交于A(-3,0),∴另一交點(diǎn)為B(5,0),
設(shè)拋物線解析式為y=a(x+3)(x-5),
∵拋物線經(jīng)過(guò)C(0,),
∴=a3(-5),解得a=,
∴拋物線解析式為y=x2+x+;
(2)要使△ACP的周長(zhǎng)最小,只需AP+CP最小即可.如圖2,
連接BC交x=1于P點(diǎn),因?yàn)辄c(diǎn)A、B關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng),根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段最短,可知此時(shí)AP+CP最。ˋP+CP最小值為線段BC的長(zhǎng)度).
∵B(5,0),C(0,),
∴直線BC解析式為y=x+,
∵xP=1,∴yP=3,即P(1,3).
(3) (3)存在 設(shè)Q(x, x2+x+)
①若C為直角頂點(diǎn), 則由△ACO相似于△CQE,得x=5.2
②若A為直角頂點(diǎn),則由△ACO相似于△AQE,得x=8.2
∴Q的橫坐標(biāo)為5.2 ,7.2
(4)令經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,3)的直線為y=kx+b,則k+b=3,即b=3-k,
則直線的解析式是:y=kx+3-k,
∵y=kx+3-k,y=x2+x+,
聯(lián)立化簡(jiǎn)得:x2+(4k-2)x-4k-3=0,
∴x1+x2=2-4k,x1x2=-4k-3.
∵y1=kx1+3-k,y2=kx2+3-k,∴y1-y2=k(x1-x2).
根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得到:==
∴==4(1+k2).
又==
;
同理
∴=
=
=4(1+k2).
∴M1PM2P=M1M2 ,
∴=1為定值.
【解析】
(1)首先求得m的值和直線的解析式,根據(jù)拋物線對(duì)稱(chēng)性得到B點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)A、B點(diǎn)坐標(biāo)利用交點(diǎn)式求得拋物線的解析式;
(2)確定何時(shí)△ACP的周長(zhǎng)最。幂S對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短的原理解決;確定P點(diǎn)坐標(biāo)P(1,3),從而直線M1M2的解析式可以表示為y=kx+3-k;
(3)存在, 設(shè)Q(x,x2+x+)①若C為直角頂點(diǎn), 則由△ACO相似于△CQE,得x=5.2,②若A為直角頂點(diǎn),則由△ACO相似于△AQE,得x=8.2從而求出Q點(diǎn)坐標(biāo).
(4)利用兩點(diǎn)間的距離公式,分別求得線段M1M2、M1P和M2P的長(zhǎng)度,相互比較即可得到結(jié)論:=1為定值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,DB∥AC,且DB= AC,E是AC的中點(diǎn),
(1)求證:BC=DE;
(2)連接AD、BE,若要使四邊形DBEA是矩形,則給△ABC添加什么條件,為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在中,,的垂直平分線交于點(diǎn),交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).
(1)若,則為 度;
(2)如果(),其余條件不變,求的度數(shù);
(3)補(bǔ)全規(guī)律:等腰三角形一腰的垂直平分線與 相交所成的銳角等于 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)O(0,0),A(0,1)是正方形的兩個(gè)頂點(diǎn),以對(duì)角線為邊作正方形,再以正方形的對(duì)角線作正方形,…,依此規(guī)律,則點(diǎn)的坐標(biāo)是( )
A. (-8,0) B. (0,8)
C. (0,8) D. (0,16)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=CD,E是對(duì)角線BD上一點(diǎn),且EA=EC.
(1)求證:四邊形ABCD是菱形;
(2)如果BE=BC,且∠CBE:∠BCE=2:3,求證:四邊形ABCD是正方形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn),一般情況下,一節(jié)課分鐘中,學(xué)生的注意力隨教師講課的變化而變化.開(kāi)始上課時(shí),學(xué)生的注意力逐步增強(qiáng),中間有一段時(shí)間學(xué)生的注意力保持較為 理想的穩(wěn)定狀態(tài),隨后學(xué)生的注意力開(kāi)始分散.經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)分析可知,學(xué)生的注意力指標(biāo)數(shù)隨時(shí)間(分鐘)的變化規(guī)律如圖所示(其中都為線段)
(1)分別求出線段和的函數(shù)解析式;
(2)開(kāi)始上課后第分鐘時(shí)與第分鐘時(shí)相比較,何時(shí)學(xué)生的注意力更集中?
(3)一道數(shù)學(xué)競(jìng)賽題,需要講分鐘,為了效果較好,要求學(xué)生的注意力指標(biāo)數(shù)最低達(dá)到那么經(jīng)過(guò)適當(dāng)安排,老師能否在學(xué)生注意力達(dá)到所需的狀態(tài)下講解完這道題目?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)A(﹣1,1)、B(4,6)在拋物線y=ax2+bx上
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖1,點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,m)(m>2),直線AF交拋物線于另一點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)G作x軸的垂線,垂足為H.設(shè)拋物線與x軸的正半軸交于點(diǎn)E,連接FH、AE,求證:FH∥AE;
(3)如圖2,直線AB分別交x軸、y軸于C、D兩點(diǎn).點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā),沿射線CD方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為每秒
個(gè)單位長(zhǎng)度;同時(shí)點(diǎn)Q從原點(diǎn)O出發(fā),沿x軸正方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度.點(diǎn)M是直線PQ與拋物線的一個(gè)交點(diǎn),當(dāng)運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí),QM=2PM,直接寫(xiě)出t的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過(guò)A(﹣1,0)、B(4,0)、C(0,2)三點(diǎn).
(1)求該二次函數(shù)的解析式;
(2)點(diǎn)D是該二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn),且滿(mǎn)足∠DBA=∠CAO(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)P是該二次函數(shù)圖象上位于一象限上的一動(dòng)點(diǎn),連接PA分別交BC,y軸與點(diǎn)E、F,若△PEB、△CEF的面積分別為S1、S2 , 求S1﹣S2的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知平面直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)
點(diǎn)到軸的距離為時(shí),求出點(diǎn)的坐標(biāo);
點(diǎn)的坐標(biāo)為,且軸,求出點(diǎn)的坐標(biāo).
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