【題目】已知:如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=CD,E是對角線BD上一點,且EA=EC.
(1)求證:四邊形ABCD是菱形;
(2)如果BE=BC,且∠CBE:∠BCE=2:3,求證:四邊形ABCD是正方形.

【答案】
(1)證明:在△ADE與△CDE中,

∴△ADE≌△CDE,

∴∠ADE=∠CDE,

∵AD∥BC,

∴∠ADE=∠CBD,

∴∠CDE=∠CBD,

∴BC=CD,

∵AD=CD,

∴BC=AD,

∴四邊形ABCD為平行四邊形,

∵AD=CD,

∴四邊形ABCD是菱形


(2)證明:∵BE=BC

∴∠BCE=∠BEC,

∵∠CBE:∠BCE=2:3,

∴∠CBE=180× =45°,

∵四邊形ABCD是菱形,

∴∠ABE=45°,

∴∠ABC=90°,

∴四邊形ABCD是正方形


【解析】(1)首先證得△ADE≌△CDE,由全等三角形的性質可得∠ADE=∠CDE,由AD∥BC可得∠ADE=∠CBD,易得∠CDB=∠CBD,可得BC=CD,易得AD=BC,利用平行線的判定定理可得四邊形ABCD為平行四邊形,由AD=CD可得四邊形ABCD是菱形;(2)由BE=BC可得△BEC為等腰三角形,可得∠BCE=∠BEC,利用三角形的內角和定理可得∠CBE=180× =45°,易得∠ABE=45°,可得∠ABC=90°,由正方形的判定定理可得四邊形ABCD是正方形.
【考點精析】本題主要考查了正方形的判定方法的相關知識點,需要掌握先判定一個四邊形是矩形,再判定出有一組鄰邊相等;先判定一個四邊形是菱形,再判定出有一個角是直角才能正確解答此題.

練習冊系列答案
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【題目】在四邊形ABCD中,對角線ACBD交于點O,下列各組條件,其中不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是( 。

A. OAOC,OBODB. OAOC,ABCD

C. ABCD,OAOCD. ADB=∠CBD,∠BAD=∠BCD

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【題目】一件工程甲獨做50天可完,乙獨做75天可完,現(xiàn)在兩個人合作,但是中途乙因事離開幾天,從開工后40天把這件工程做完,則乙中途離開了(  )天.

A. 10 B. 20 C. 30 D. 25

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【題目】中,,點內一點.

1)如圖1,連接,將沿射線方向平移,得到,點的對應點分別為點,連接.如果,,則

2)如圖2,連接,當時,求的最小值.

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【題目】某中學新建了一棟7層的教學大樓,每層樓有8間教室,進出這棟大樓共有八道門,其中四道正門大小相同,四道側門大小也相同.安全檢查中,對八道門進行了測試:當同時開啟一道正門和兩道側門時,2分內可以通過560名學生;當同時開啟一道正門和一道側門時,4分內可以通過800名學生.

1)平均每分內一道正門和一道側門分別可以通過多少名學生?

2)檢查中發(fā)現(xiàn),緊急情況時因學生擁擠,出門的效率將降低30%.安全檢查規(guī)定:在緊急情況下全大樓的學生應在5分內通過這八道門安全撤離,假設這棟教學大樓每間教室最多有45名學生,問建造的這八道門是否符合安全規(guī)定?請說明理由.

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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,一次函數(shù)y=x+m (m為常數(shù))的圖像與x軸交于點A(-3,0),與y軸交于點C.以直線x=1為對稱軸的拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),且a≠0)經過A、C兩點,并與x軸的正半軸交于點B.

(1)求m的值及拋物線的函數(shù)表達式;
(2)若P是拋物線對稱軸上一動點,△ACP周長最小時,求出P的坐標;
(3)是否存在拋物在線一動點Q,使得△ACQ是以AC為直角邊的直角三角形?若存在,求出點Q的橫坐標;若不存在,請說明理由;
(4)在(2)的條件下過點P任意作一條與y軸不平行的直線交拋物線于M1(x1,y1),M2(x2,y2)兩點,試問是否為定值,如果是,請直接寫出結果,如果不是請說明理由.

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【題目】閱讀材料I:

教材中我們學習了:若關于的一元二次方程的兩根為,根據(jù)這一性質,我們可以求出己知方程關于的代數(shù)式的值.

問題解決:

1)已知為方程的兩根,則: __ ___ _,那么_ (請你完成以上的填空)

閱讀材料:II

已知,且.求的值.

:可知

,即

是方程的兩根.

問題解決:

2)若 ;

3)已知.求的值.

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【題目】如圖,拋物線y=﹣ x2+ x+2與x軸交于點A,B,與y軸交于點C.

(1)試求A,B,C的坐標;
(2)將△ABC繞AB中點M旋轉180°,得到△BAD.
①求點D的坐標;
②判斷四邊形ADBC的形狀,并說明理由;
(3)在該拋物線對稱軸上是否存在點P,使△BMP與△BAD相似?若存在,請直接寫出所有滿足條件的P點的坐標;若不存在,請說明理由.

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【題目】某工廠新開發(fā)生產一種機器,每臺機器成本y(萬元)與生產數(shù)量x(臺)之間滿足一次函數(shù)關系(其中10≤x≤70,且為整數(shù)),函數(shù)y與自變量x的部分對應值如表

(單位:臺)

10

20

30

(單位:萬元/臺)

60

55

50

1)求yx之間的函數(shù)關系式;

2)市場調查發(fā)現(xiàn),這種機器每月銷售量z(臺)與售價a(萬元/臺)之間滿足如圖所示的函數(shù)關系.則當該廠第一個月生產的這種機器40臺都按同一售價全部售出,請求出該廠第一個月銷售這種機器的總利潤.(注:利潤=售價﹣成本)

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