【題目】如圖,在邊長為2的正方形ABCD中,以點(diǎn)D為圓心、DC為半徑作 ,點(diǎn)E在AB上,且與A、B兩點(diǎn)均不重合,點(diǎn)M在AD上,且ME=MD,過點(diǎn)E作EF⊥ME,交BC于點(diǎn)F,連接DE、MF.

(1)求證:EF是 所在⊙D的切線;
(2)當(dāng)MA= 時(shí),求MF的長;
(3)試探究:△MFE能否是等腰直角三角形?若是,請直接寫出MF的長度;若不是,請說明理由.

【答案】
(1)

證明:過點(diǎn)D作DG⊥EF于G,

∵M(jìn)E=MD,

∴∠MDE=∠MED,

∵EF⊥ME,

∴∠DEM+∠GED=90°,

∵∠DAB=90°,

∴∠MDE+∠AED=90°,

∴∠AED=∠GED,

∵在△ADE和△GDE中,

,

∴△ADE≌△GDE(AAS),

∴AD=GD,

的半徑為DC,即AD的長度,

∴EF是 所在⊙D的切線;


(2)

MA= 時(shí),ME=MD=2﹣ = ,

在Rt△AME中,AE= = =1,

∴BE=AB﹣AE=2﹣1=1,

∵EF⊥ME,

∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°,

∵∠B=90°,

∴∠2+∠3=90°,

∴∠1=∠3,

又∵∠DAB=∠B=90°,

∴△AME∽△BEF,

,

,

解得EF= ,

在Rt△MEF中,MF=


(3)

假設(shè)△MFE能是等腰直角三角形,

則ME=EF,

∵在△AME和△BEF中,

,

∴△AME≌△BEF(AAS),

∴MA=BE,

設(shè)AM=BE=x,

則MD=AD﹣MA=2﹣x,AE=AB﹣BE=2﹣x,

∵M(jìn)E=MD,

∴ME=2﹣x,

∴ME=AE,

∵M(jìn)E、AE分別是Rt△AME的斜邊與直角邊,

∴ME≠AE,

∴假設(shè)不成立,

故△MFE不能是等腰直角三角形.


【解析】(1)過點(diǎn)D作DG⊥EF于G,根據(jù)等邊對等角可得∠MDE=∠MED,然后根據(jù)等角的余角相等求出∠AED=∠GED,再利用“角角邊”證明△ADE和△GDE全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AD=GD,再根據(jù)切線的定義即可得證;(2)求出ME=MD= ,然后利用勾股定理列式求出AE,再求出BE,根據(jù)同角的余角相等求出∠1=∠3,然后求出△AME和△BEF相似,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出EF,再利用勾股定理列式計(jì)算即可得解;(3)假設(shè)△MFE能是等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得ME=EF,先利用“角角邊”證明△AME和△BEF全等,根據(jù)全等三角形對邊角相等可得AM=BE,設(shè)AM=BE=x,然后表示出MD,AE,再根據(jù)ME=MD,從而得到ME=AE,根據(jù)直角三角形斜邊大于直角邊可知△MEF不可能是等腰直角三角形.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,在直角梯形ABCD中,AB=2,BC=4,AD=6,M是CD的中點(diǎn),點(diǎn)P在直角梯形的邊上沿A→B→C→M運(yùn)動(dòng),則△APM的面積y與點(diǎn)P經(jīng)過的路程x之間的函數(shù)關(guān)系用圖象表示是(  )

A.
B.
C.
D.

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【題目】如圖,直線a∥b,直線c與a、b都相交,從所標(biāo)識的∠1、∠2、∠3、∠4、∠5這五個(gè)角中任意選取兩個(gè)角,則所選取的兩個(gè)角互為補(bǔ)角的概率是(  )

A.
B.
C.
D.

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(﹣4,3)、B(﹣3,1)、C(﹣1,3).

(1)請按下列要求畫圖:
①將△ABC先向右平移4個(gè)單位長度、再向上平移2個(gè)單位長度,得到△A1B1C1 , 畫出△A1B1C1
②△A2B2C2與△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱,畫出△A2B2C2
(2)在(1)中所得的△A1B1C1和△A2B2C2關(guān)于點(diǎn)M成中心對稱,請直接寫出對稱中心M點(diǎn)的坐標(biāo).

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(結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù) ≈1.73, ≈1.41)

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A.24
B.48
C.96
D.192

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【題目】已知:如圖:∠1=∠2,∠3+∠4= 180°;確定直線a,c的位置關(guān)系,并說明理由;

解:a c;

理由:∵∠1=∠2( ),

a // ( );

∵ ∠3+∠4= 180°( ),

c // ( );

a // ,c // ,

// ( );

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(1)王大爺自帶的零錢是多少?

(2)降價(jià)前他每千克土豆出售的價(jià)格是多少?

(3)降價(jià)后他按每千克0.4元將剩余土豆售完,這時(shí)他手中的錢(含備用零錢)26元,問他一共帶了多少千克土豆?

(4)寫出售出土豆的千克數(shù)x與他手中持有的錢數(shù)y(含備用零錢)的關(guān)系式.

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