Question

我們知道一個圖形的性質(zhì)和判定之間有著密切的聯(lián)系．比如，由等腰三角形的性質(zhì)“等邊對等角”得到它的判定“等角對等邊”．小明在學(xué)完“等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合”性質(zhì)后，得到如下三個猜想：
①如果一個三角形的一條中線和一條高相互重合，則這個三角形是等腰三角形．
②如果一個三角形的一條高和一條角平分線相互重合，則這個三角形是等腰三角形．③如果一個三角形的一條中線和一條角平分線相互重合，則這個三角形是等腰三角形．
我們運(yùn)用線段垂直平分線的性質(zhì)，很容易證明猜想①的正確性．現(xiàn)請你幫助小明判斷：
（1）他的猜想②是

 

命題（填“真”或“假”）．
（2）他的猜想③是否成立？若成立，請結(jié)合圖形，寫出已知、求證和證明過程；若不成立，請舉反例說明．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定,命題與定理

專題：閱讀型

分析：（1）首先根據(jù)已知推出△CAD≌△BAC，即可推出AB=AC，
（2）首先根據(jù)命題寫出已知，求證，畫出圖形，然后，作出輔助線作DE⊥AC，DF⊥AB，根據(jù)條件推出Rt△CED≌Rt△BFC，即可推出∠B=∠C，根據(jù)△ABC內(nèi)，等角對等邊，即可推出AB=AC．

解答：（1）證明：∵AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，∠CAD=∠BAD，
在△CAD和△BAD中，

∠ADB=∠ADC AD=AD ∠CAD=BAD

∴△CAD≌△BAD（ASA），
∴AB=AC，
所以猜想②是真命題．
（2）已知：在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，AD平分∠BAC．
求證：△ABC是等腰三角形．…（2分）
證明：作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF，

∵D為BC的中點(diǎn)
∴CD=BD，
在Rt△CFD和Rt△BED中，

CD=BD DE=DF

∴Rt△CFD≌Rt△BED（HL），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．即△ABC是等腰三角形．

點(diǎn)評：本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、根據(jù)命題寫已知、求證，全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)的等性質(zhì)定理，關(guān)鍵在于根據(jù)命題寫出已知、求證、畫出圖形．