Question

在平面直角坐標(biāo)xOy中，已知點(diǎn)A（6，0），點(diǎn)B（0，6），動(dòng)點(diǎn)C在以半徑為3的⊙O上，連接OC，過O點(diǎn)作OD⊥OC，OD與⊙O相交于點(diǎn)D（其中點(diǎn)C、O、D按逆時(shí)針方向排列），連接AB．

（1）當(dāng)OC∥AB時(shí)，∠BOC的度數(shù)為　　　　　　；

（2）連接AC，BC，在點(diǎn)C在⊙O運(yùn)動(dòng)過程中，△ABC的面積是否存在最大值？并求出△ABC的最大值；

（3）直接寫出在（2）的條件下D點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【考點(diǎn)】圓的綜合題．

【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)易得△OAB為等腰直角三角形，則∠OBA=45°，由于OC∥AB，所以當(dāng)C點(diǎn)在y軸左側(cè)時(shí)，有∠BOC=∠OBA=45°；當(dāng)C點(diǎn)在y軸右側(cè)時(shí)，有∠BOC=180°﹣∠OBA=135°，從而得出答案；

（2）由△OAB為等腰直角三角形得AB=OA，根據(jù)三角形面積公式得到當(dāng)點(diǎn)C到AB的距離最大時(shí)，△ABC的面積最大，過O點(diǎn)作OE⊥AB于E，OE的反向延長線交⊙O于C，此時(shí)C點(diǎn)到AB的距離的最大值為CE的長，然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算出OE，然后計(jì)算△ABC的面積；

（3）由（2）可知當(dāng)△ABC的面積最大值時(shí)，則點(diǎn)C在第三象限，因?yàn)镺D⊥OC，所以點(diǎn)D在第二象限，過點(diǎn)D作DH⊥OB，DM⊥AO，分別求出DH，DM的長即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

【解答】解：（1）∵點(diǎn)A（6，0），點(diǎn)B（0，6），

∴OA=OB=6，

∴△OAB為等腰直角三角形，

∴∠OBA=45°，

∵OC∥AB，

∴當(dāng)C點(diǎn)在y軸左側(cè)時(shí)，∠BOC=∠OBA=45°，

當(dāng)C點(diǎn)在y軸右側(cè)時(shí)，∠BOC=180°﹣∠OBA=135°，

∴∠OBA=45°或135°；

故答案為：45°或135°；

（2）∵△OAB為等腰直角三角形，

∴AB=OA=6，

∴當(dāng)點(diǎn)C到AB的距離最大時(shí)，△ABC的面積最大，

過O點(diǎn)作OE⊥AB于E，OE的反向延長線交⊙O于C，

如圖：此時(shí)C點(diǎn)到AB的距離最大值為CE的長，

∵△OAB為等腰直角三角形，

∴OE=AB=3，

∴CE=OC+OE=3+3，△ABC的面積=CE•AB=（3+3）×6=9+18，

當(dāng)點(diǎn)C在⊙O上運(yùn)動(dòng)到第三象限的角平分線與圓的交點(diǎn)位置時(shí)，△ABC的面積最大，最大值為9+18．

（3）過點(diǎn)D作DH⊥OB，DM⊥AO，

由（2）可知點(diǎn)C在⊙O上運(yùn)動(dòng)到第三象限的角平分線與圓的交點(diǎn)位置，

∴∠COM=45°，

∵OD⊥OC，

∴∠DOM=45°，

∵OD=3，

∴DM=，DH=，

∴點(diǎn)D坐標(biāo)是（﹣，）．

【點(diǎn)評】本題考查了圓的綜合題，用到的知識(shí)點(diǎn)是平行線的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；熟練運(yùn)用勾股定理進(jìn)行幾何計(jì)算是本題的關(guān)鍵．