Question

【題目】若雙曲線y=kx-1與直線y=-2x+10在2≤x≤4時(shí)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則對(duì)k的取值要求是______．

Answer 1

【答案】8≤k＜12或k=12.5．

【解析】

由直線y=-2x+10在2≤x≤4時(shí)，是第一象限內(nèi)的一條線段，先通過(guò)解方程組，確定直線y=-2x+10與當(dāng)雙曲線y=kx-1有且只一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，此交點(diǎn)是否在線段y=-2x+10（2≤x≤4）上，并求出其k值，再解決直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)中只有其中一個(gè)交點(diǎn)在線段y=-2x+10（2≤x≤4）上時(shí)，k的取值情況便可．

解：若直線y=-2x+10與雙曲線y=kx-1有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則

方程組有且只有一個(gè)解，

也即，即2x2-10x+k=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，

∴△=100-8k=0，

解得，k=12.5，

∴當(dāng)k=12.5時(shí)，雙曲線y=kx-1與直線y=-2x+10相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)，

當(dāng)k＞12.5時(shí)，雙曲線y=kx-1與直線y=-2x+10相離，沒(méi)有公共點(diǎn)，

當(dāng)k＜12.5時(shí)，雙曲線y=kx-1與直線y=-2x+10相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)，

∴當(dāng)k=12.5時(shí)，方程2x2-10x+k=0為2x2-10x+12．5=0，

解得，x1=x2=，

∴交點(diǎn)坐標(biāo)為（，5），

∵此交點(diǎn)（，5）在線段y=-2x+10（2≤x≤4）上，

∴當(dāng)k=12.5時(shí)，雙曲線y=kx-1與直線y=-2x+10在2≤x≤4時(shí)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；

∵當(dāng)k＜12.5時(shí)，雙曲線y=kx-1與直線y=-2x+10有兩個(gè)交點(diǎn)，

∵當(dāng)雙曲線y=kx-1過(guò)點(diǎn)（4，2）時(shí)，k=8＜12.5，

由得，，，

此時(shí)直線y=-2x+10與y=有兩個(gè)交點(diǎn)為（1，8），（4，2），

∵（1，8）不在線段y=-2x+4（2≤x≤4）上，

∴k=8時(shí)，雙曲線y=kx-1與直線y=-2x+10在2≤x≤4時(shí)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)雙曲線y=kx-1過(guò)點(diǎn)（2，6）時(shí)，k=2×6=12＜12.5．

由，得，，

此時(shí)直線y=-2x+10與y=有兩個(gè)交點(diǎn)為（2，6），（3，4），

∵（2，6），（3，4）在線段y=-2x+4（2≤x≤4）上，

∴k=12時(shí)，雙曲線y=kx-1與直線y=-2x+10在2≤x≤4時(shí)有兩個(gè)公共點(diǎn)，

∴雙曲線y=kx-1與直線y=-2x+10在2≤x≤4時(shí)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，必有k＜12，

綜上可知，雙曲線y=kx-1與直線y=-2x+10在2≤x≤4時(shí)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的k的取值要求是：8≤k＜12或k=12.5．

故答案為：8≤k＜12或k=12.5．