Question

【題目】以△ABC的邊AB為直徑作⊙O交BC于D．

（1）如圖1，過點D作⊙O的切線交AC于E，若點E為線段AC中點，求證：AC與⊙O相切．

（2）在（1）的條件下，若BD=6，AB=10，求△ABC的面積．

（3）如圖2，連OC交⊙O于E，BE的延長線交AC于F，若AB=AC，CE=AF=4，求CF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）CF=

【解析】

（1）連接OD，OE，利用全等三角形的判定得出△ODE與△OAE全等，再利用切線的判定證明即可；

（2）根據(jù)切線的性質(zhì)和勾股定理和三角形面積公式解答即可．

（3）由△AEC∽△EFC即可得出FC的長．

證明：（1）連接OD，OE，AD，

∵AB為直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠ADC=90°，

∵點E為線段AC中點，

∴AE=EC，

∴AE=DE，

在△ODE與△OAE中

，

∴△ODE≌△OAE（SSS），

∴∠ODE=∠OAE，

∵⊙O的切線交AC于E，

∴∠ODE=90°，

∴∠OAE=90°，

∴OA⊥AC，

即AC與⊙O相切；

（2）如圖3，連接AD，AE

∵△ABD∽△ADC

∴==

∴==

∴CD=，AC=

∴S△ABC===；

（3）如圖，作FH∥AB交OC于H，設(shè)半徑為r

△FEH為等腰三角形

∵AC=AB=2r

∴CF=2r-4

∵△CFH∽△OAC

∴

∴HF=r-2

∴EH=r-2

∴HC=4-（r-2）=6-r

∵△CFH∽△OAC

∴

∴

∴r=1±

∴r=1+

∴CF=2r-4=2-2.