Question

【題目】綜合與探究

如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、、，已知點(diǎn)，，且，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)（異于）．

（1）求拋物線和直線的表達(dá)式．

（2）若點(diǎn)是直線上方拋物線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，與交于點(diǎn)，垂足為．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

（3）若點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得由，，，四點(diǎn)組成的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或

【解析】

（1），則OA=4OC=8，故點(diǎn)A（-8，0）；△AOC∽△COB，則△ABC為直角三角形，則CO2=OAOB，解得：OB=2，故點(diǎn)B（2，0）；即可求解；
（2）PE=EF，即；即可求解；
（3）分BC是邊、BC是對(duì)角線兩種情況，分別求解即可．

解：（1）∵，，

∴．

由點(diǎn)的坐標(biāo)可知，故，，則點(diǎn)，點(diǎn)．

設(shè)拋物線的表達(dá)式為,

代入點(diǎn)的坐標(biāo)，得，解得．

故拋物線的表達(dá)式為．

設(shè)直線的表達(dá)式為,

代入點(diǎn)、的坐標(biāo)，得，解得

故直線的表達(dá)式為．

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．

∵，

∴，

解得或（舍去），則，

故當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（3）設(shè)點(diǎn)P（m，n），n=，點(diǎn)M（s，0），而點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為：（2，0）、（0，4）；
①當(dāng)BC是邊時(shí)，
點(diǎn)B向左平移2個(gè)單位向上平移4個(gè)單位得到C，
同樣點(diǎn)P（M）向左平移2個(gè)單位向上平移4個(gè)單位得到M（P），
即m-2=s，n+4=0或m+2=s，n-4=0，
解得：m=-6或±-3，
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（-6，4）或（-3，-4）或（--3，-4）；
②當(dāng)BC是對(duì)角線時(shí)，
由中點(diǎn)公式得：2=m+s，n=4，
故點(diǎn)P（-6，4）；
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（-6，4）或（-3，-4）或（--3，-4）．