Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于N，交AC于M．
（1）若∠B=70°，則∠MNA的度數(shù)是

 

．
（2）連接NB，若AB=8cm，△NBC的周長是14cm．
①求BC的長；
②在直線MN上是否存在P，使由P、B、C構(gòu)成的△PBC的周長值最��？若存在，標(biāo)出點(diǎn)P的位置并求△PBC的周長最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題,線段垂直平分線的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC=∠ACB=70°，求得∠A=40°，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得出AN=BN，進(jìn)而得出∠ABN=∠A=40°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理就可得出∠ANB=100°，根據(jù)等腰三角形三線合一就可求得∠MNA=50°；
（2）①根據(jù)△NBC的周長=BN+CN+BC=AN+NC+BC=AC+BC就可求得．
②根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，即可判定P就是N點(diǎn)，所以△PBC的周長最小值就是△NBC的周長．

解答：解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠A=40°，
∵M(jìn)N是AB的垂直平分線，
∴AN=BN，
∴∠ABN=∠A=40°，
∴∠ANB=100°，
∴∠MNA=50°；
故答案為50°．
（2）①∵AN=BN，
∴BN+CN=AN+CN=AC，
∵AB=AC=8cm，
∴BN+CN=8cm，
∵△NBC的周長是14cm．
∴BC=14-8=6cm．
②∵A、B關(guān)于這些MN對稱，
∴連接AC與MN的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn)，此時(shí)P和N重合，
即△BNC的周長就是△PBC的周長最小值，
∴△PBC的周長最小值為14cm．

點(diǎn)評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．