Question

已知拋物線y=2x²+bx+6經(jīng)過A（1，0），點P為拋物線的頂點，點B為拋物線與x軸的另一交點．
（1）求出點P、點B的坐標(biāo)．
（2）如圖，在直線y=2x上是否存在點D，使以O(shè)、P、B、D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）把點A的坐標(biāo)代入拋物線求出b的值，再整理成頂點式，然后寫出點P的坐標(biāo)；令y=0解方程即可得到點B的坐標(biāo)；
（2）利用待定系數(shù)法求出直線BP的解析式，然后根據(jù)平行四邊形對邊平行且相等解答．

解答：解：（1）∵拋物線y=2x²+bx+6經(jīng)過A（1，0），
∴2×1²+b+6=0，
解得b=-8，
∴y=2x²-8x+6=2（x-2）²-2，
∴頂點P的坐標(biāo)為（2，-2），
令y=0，則2x²-8x+6=0，
解得x₁=1，x₂=3，
∴點B的坐標(biāo)為（3，0）；

（2）設(shè)直線BP的解析式為y=kx+b，
則

2k+b=-2 3k+b=0

，
解得

k=2 b=-6

，
所以，直線BP的解析式為y=2x-6，
∵直線y=2x與直線y=2x-6互相平行，
∴直線y=2x上是否存在點D，使以O(shè)、P、B、D為頂點的四邊形是平行四邊形，
此時，點D的坐標(biāo)為（1，2）或（-1，-2）．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，互相平行的直線的解析式的k值相等，平行四邊形對邊平行且相等，難點在于（2）根據(jù)坐標(biāo)與圖形性質(zhì)利用點P、B的坐標(biāo)特征分情況寫出點D的坐標(biāo)．