【題目】問題情境:如圖1,△ABC為等腰直角三角形,∠ACB=90°,F是AC邊上的一個動點(點F與A,C不重合),以CF為一邊在等腰直角三角形外作正方形CDEF,連接BF,AD.
探究展示:(1)①猜想圖1中線段BF、AD的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系,直接寫出結(jié)論;
②將圖1中的正方形CDEF,繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)任意角度α,得到如圖2的情形,圖2中BF交AC于點H,交AD于點O,請你判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立,并選取圖2證明你的判斷.
變式練習:(2)將原題中的等腰直角三角形ABC改為直角三角形ABC,∠ACB=90°,正方形CDEF改為矩形CDEF,如圖3,且AC=4,BC=3,CD=,CF=1,BF交AC于點H,交AD于點O,連接BD、AF,請判斷線段BF、AD所在直線的位置關(guān)系,并證明你的判斷.
【答案】(1)①結(jié)論:BF=AD,BF⊥AD;②BF=AD,BF⊥AD仍然成立,證明見解析;(2)結(jié)論:BF⊥AD,證明見解析.
【解析】試題分析:(1)①證△BCF≌△ACD推出∠CAD=∠FBC,BF=AD,即可得出結(jié)論;
②證△BCF≌△ACD推出∠CAD=∠FBC,BF=AD,即可得出結(jié)論;
(2)證△BCF∽△ACD,推出∠CBF=∠CAD,再根據(jù)∠BHC=∠AHO,∠CBH+∠BHC=90°從而得∠CAD+∠AHO=90°,繼而得到∠AOH=90°,得到BF⊥AD.
試題解析:(1)①結(jié)論:BF=AD,BF⊥AD;
理由:如圖,延長BF交AD于H,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴AC=BC,∠ACB=90°,
∵四邊形CDEF是正方形,
∴CD=CF,∠FCD=90°,
∴∠BCF=∠ACD,
在△BCF和△ACD中,
,
∴△BCF≌△ACD(SAS),
∴BF=AD,∠CBF=∠CAD,
又∵∠BFC=∠AFH,∠CBF+∠BFC=90°,
∴∠CAD+∠AFH=90°,
∴∠AHF=90°,
∴BF⊥AD;
∴BF=AD,BF⊥AD;
②BF=AD,BF⊥AD仍然成立,
如圖,
∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,
∴AC=BC,
∵四邊形CDEF是正方形,
∴CD=CF,∠FCD=90°,
∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF,
即∠BCF=∠ACD,
在△BCF和△ACD中,
,
∴△BCF≌△ACD(SAS),
∴BF=AD,∠CBF=∠CAD,
又∵∠BHC=∠AHO,∠CBH+∠BHC=90°,
∴∠CAD+∠AHO=90°,
∴∠AOH=90°,
∴BF⊥AD;
(2)結(jié)論:BF⊥AD.
如圖,
∵四邊形CDEF是矩形,
∴∠FCD=90°,
又∵∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠FCD
∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF,
即∠BCF=∠ACD,
∵AC=4,BC=3,CD=,CF=1,
∴ ,
∴△BCF∽△ACD,
∴∠CBF=∠CAD,
又∵∠BHC=∠AHO,∠CBH+∠BHC=90°
∴∠CAD+∠AHO=90°,
∴∠AOH=90°,
∴BF⊥AD.
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【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,,,且.
(1)求點A、B的坐標;
(2)如圖1,P點為y軸正半軸上一點,連接BP,若,請求出P點的坐標;
(3)如圖2,已知,若C點是x軸上一個動點,是否存在點C,使,若存在,請直接寫出所有符合條件的點C的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】在⊙O中,直徑AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,點P在BC上,點Q在⊙O上,且OP⊥PQ.
(1)如圖1,當PQ∥AB時,求PQ的長度;
(2)如圖2,當點P在BC上移動時,求PQ長的最大值.
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【題目】如圖,A、B兩點在反比例函數(shù)y=(k>0,x>0)的圖像上,AC⊥y軸于點C,BD⊥x軸于點D,點A的橫坐標為a,點B的橫坐標為b,且a<b.
(1)若△AOC的面積為4,求k值;
(2)若a=1,b=k,當AO=AB時,試說明△AOB是等邊三角形.
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【題目】某商場計劃用3 800元購進節(jié)能燈120只,這兩種節(jié)能燈的進價、售價如下表:
進價(元/只) | 售價(元/只) | |
甲型 | 25 | 30 |
乙型 | 45 | 60 |
(1)求甲、乙兩種節(jié)能燈各進多少只?
(2)全部售完120只節(jié)能燈后,該商場獲利潤多少元?
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【題目】如圖,拋物線y=﹣(x﹣1)2+c與x軸交于A,B(A,B分別在y軸的左右兩側(cè))兩點,與y軸的正半軸交于點C,頂點為D,已知A(﹣1,0).
(1)求點B,C的坐標;
(2)判斷△CDB的形狀并說明理由;
(3)將△COB沿x軸向右平移t個單位長度(0<t<3)得到△QPE.△QPE與△CDB重疊部分(如圖中陰影部分)面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量t的取值范圍.
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【題目】如圖,在四邊形中,的平分線交于點,交的延長線于點,
(1)寫出對由條件推出的相等或互補的角
(2)與相等嗎?為什么?
(3)證明:
請在下面的括號內(nèi),填上推理的根據(jù),并完成下面的證明:
( ① )
(已證),,( ② )
又(角平分線的定義)
( ③ )
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【題目】如圖,AD平分∠BAC交BC于點D,點F在BA的延長線上,點E在線段CD上,EF與AC相交于點G,∠BDA+∠CEG=180°.
(1)AD與EF平行嗎?請說明理由;
(2)若點H在FE的延長線上,且∠EDH=∠C,則∠F與∠H相等嗎,請說明理由.
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