Question

如圖①，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．
（1）若AD=3，CD=4，則AC=

 

，如果設(shè)BD=x，則BC²可以用含有x的代數(shù)式表示為

 

，所以，利用△ABC三邊的關(guān)系可以求得x的值為

 

；
（2）若AD=m，BD=n，CD=p，求證：p²=mn；
（3）應(yīng)用（2）中的結(jié)論解決下面的問(wèn)題：
如圖②，點(diǎn)C在x軸上，⊙C交x軸于點(diǎn)A（-2，0）、D，交y軸于點(diǎn)B（0，4），拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A、B、D三點(diǎn)，能否在第一象限的該拋物線上找到一點(diǎn)P，使△BDP的面積最大？如果能，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和△BDP的面積；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）在Rt△ACD中利用勾股定理計(jì)算出AC=5，再證明Rt△BCD∽R(shí)t△BAC，于是利用相似比得BC²=BD•BA=x²+3x；然后由勾股定理得BC²=AB²-AC²，所以x²+3x=（3+x）²-5²，然后解方程可求出x；
（2）證明Rt△ACD∽R(shí)t△CBD，利用相似比即可得到結(jié)論；
（3）連結(jié)BD，如圖②，根據(jù)圓周角定理得∠ABD=90°，則可運(yùn)用（2）中的結(jié)論計(jì)算出OD=8，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（8，0），接著利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式為y=-

1

2

x+4；拋物線解析式為y=-

1

4

x²+

3

2

x+4，作PH⊥x軸交BD于E點(diǎn)，如圖，根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（t，-

1

4

t²+

3

2

t+4），則E點(diǎn)坐標(biāo)為（t，-

1

2

t+4），根據(jù)三角形面積公式和S_△BDP=S_△BEP+S_△DEP計(jì)算得到S_△BDP=-t²+8t，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題求出使△BDP的面積最大的t的值，從而得到P點(diǎn)坐標(biāo)和△BDP的面積的最大值．

解答：（1）解：在Rt△ACD中，∵AD=3，CD=4，
∴AC=

AD2+CD2

=5，
∵∠CBD=∠ABC，
∴Rt△BCD∽R(shí)t△BAC，
∴

BC

BA

=

BD

BC

，
∴BC²=BD•BA=x（x+3）=x²+3x；
∵BC²=AB²-AC²，
∴x²+3x=（3+x）²-5²，解得x=

16

3

；
故答案為5，x²+3x，

16

3

；
（2）證明：∵∠ACD+∠DCB=90°，∠A+∠ACD=90°，
∴∠A=∠DCB，
∴Rt△ACD∽R(shí)t△CBD，
∴

AD

CD

=

CD

BD

，即

m

p

=

p

n

，
∴p²=mn；
（3）解：能．
連結(jié)BD，如圖②，
∵AD為直徑，
∴∠ABD=90°，
由（2）得OB²=OA•OD，即4²=2OD，解得OD=8，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（8，0），
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，
把B（0，4）、D（8，0）代入得

b=4 8k+b=0

，解得

k=- 1 2 b=4

，
∴直線BD的解析式為y=-

1

2

x+4；
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-8），
把B（0，4）代入得a×2×（-8）=4，解得a=-

1

4

，
∴拋物線解析式為y=-

1

4

（x+2）（x-8）=-

1

4

x²+

3

2

x+4，
作PH⊥x軸交BD于E點(diǎn)，如圖，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（t，-

1

4

t²+

3

2

t+4），則E點(diǎn)坐標(biāo)為（t，-

1

2

t+4），
∴S_△BDP=S_△BEP+S_△DEP
=

1

2

•t•（-

1

4

t²+

3

2

t+4+

1

2

t-4）+

1

2

•（8-t）•（-

1

4

t²+

3

2

t+4+

1

2

t-4）
=

1

2

•8•（-

1

4

t²+2t）
=-t²+8t
=-（t-4）²+16，
∴當(dāng)t=4時(shí)，△BDP的面積最大，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，6），△BDP的面積的最大值為16．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A周角定理和二次函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；會(huì)靈活應(yīng)用相似比和勾股定理計(jì)算線段的長(zhǎng)．