Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝7，BC＝4，∠ABC＝45°，射線CD⊥AB于D，點P為射線CD上一動點，以PD為直徑的⊙O交PA、PB分別為E、F，設CP＝x．

（1）求sin∠ACD的值．

（2）在點P的整個運動過程中：

①當⊙O與射線CA相切時，求出所有滿足條件時x的值；

②當x為何值時，四邊形DEPF為矩形，并求出矩形DEPF的面積．

（3）如果將△ADC繞點D順時針旋轉(zhuǎn)150°，得△A′DC′，若點A′和點C′有且只有一個點在圓內(nèi)，則x的取值范圍是　 　．

Answer 1

【答案】（1）sin∠ACD＝；（2）①x的值為x＝1或x＝10；②當x＝4±2時，四邊形DEPF為矩形，矩形DEPF的面積為；（3）＜x＜7

【解析】

（1）如圖，在Rt△BCD中，BC＝4，∠ABC＝45°計算BD、CD，AD的長度，然后利用勾股定理求出AC的長度即可求解；

（2）①⊙O與射線CA相切包括P在AB兩側(cè)兩種情況，當P在AB左側(cè)時，如圖，sin∠ACD＝＝，而CD＝x+2r＝4，可求x，同理當P在AB右側(cè)時可解；

②設圓的半徑為r，四邊形DEPF為矩形，包括P在AB兩側(cè)兩種情況，當P在AB右側(cè)時，如圖設：PD＝x﹣4＝a，利用三角形APD的面積：ED＝、DF＝，利用ED2＝DF2可以求解，同理當當P在AB左側(cè)的情況；

（3）利用勾股定理分別求出PA′2，PC2，然后分r2＝PA′2和 r2＝PC′2兩種情況，分別求解即可．

解：（1）在Rt△BCD中，BC＝4，∠ABC＝45°，

則CD＝4，BD＝4，

,

∴AD＝AB﹣BD＝3，

sin∠ACD＝＝；

（2）①⊙O與射線CA相切，包括P在AB兩側(cè)兩種情況，

當P在AB左側(cè)時，如下圖，圓的半徑為r，圓與AC相切于點H，

則在Rt△CHO中，OC＝x+r，OH＝r，sin∠ACD＝，

sin∠ACD＝＝，而CD＝x+2r＝4，

解得：x＝1，

同理當P在AB右側(cè)時，求得x＝4+6＝10，

所有滿足條件時x的值為x＝1或x＝10；

②設圓的半徑為r，四邊形DEPF為矩形，包括P在AB兩側(cè)兩種情況，

當P在AB右側(cè)時，原圖的簡圖如下圖，設∠ABP＝∠DPE＝α，

設：PD＝x﹣4＝a，

在Rt△ADP中，利用三角形APD的面積＝EDAP＝APPD，

解得：ED＝，

同理可得：DF＝，PF2＝a2﹣DF2，

四邊形DEPF為矩形，

∴ED2＝DF2，

解得：a＝2，x＝4+2，

則sinα＝，cosα＝，

S四邊形DEPF＝DPsinαcosα＝，

同理當當P在AB左側(cè)時，

此時PD＝4﹣x＝a，

經(jīng)計算a＝2，x＝4﹣2，

S四邊形DEPF＝DPsinαcosα＝，

答：當x＝4±2時，四邊形DEPF為矩形，矩形DEPF的面積為；

（3）如下圖，連接PA′、PC′，

在△PDA′中，AD′＝3，PD＝4﹣x，∠PDA＝150°，

利用勾股定理得：PA′2＝（）2+（﹣x）2＝x2﹣11x+，

當r2＝PA′2時，解得：x＝7，

同理可得：PC2＝32+16﹣（8+4）x+x2，

當r2＝PC′2時，解得：x＝，

∴x的取值范圍為：＜x＜7．