【題目】已知一元二次方程ax2+bx+c=0兩根為x1,x2,x2+x1=﹣,x2.x1=.如果拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(1,2),若abc=4,且a≥b≥c,則|a|+|b|+|c|的最小值為( 。
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
【解析】
易知:b+c=2-a,bc=,可將b、c看做是一元二次方程x2-(2-a)x+=0的兩實根,那么可根據(jù)△≥0,求得a的大致取值范圍為a≥4.由于abc=4>0,且a≥b≥c,則說明:①a、b、c均大于0,由于a≥4,如果三數(shù)均為正數(shù),顯然a+b+c>4≠2,因此不合題意;
②a正,b、c為負,那么此時|a|+|b|+|c|=a-(b+c)=a-(2-a)=2a-2,根據(jù)得出的a的取值范圍,即可求出|a|+|b|+|c|的最小值.
∵a≥b≥c,若a<0,則b<0,c<0,a+b+c<0,與a+b+c=2矛盾,
∴a>0;
∵b+c=2-a,bc=,
∴b,c是一元二次方程x2-(2-a)x+=0的兩實根,
∴△=(2-a)2-4×≥0,
∴a3-4a2+4a-16≥0,即(a2+4)(a-4)≥0,故a≥4,
∵abc>0,
∴a,b,c為全大于0或一正二負;①若a,b,c均大于0,
∵a≥4,與a+b+c=2矛盾;
②若a,b,c為一正二負,則a>0,b<0,c<0,
則|a|+|b|+|c|=a-b-c=a-(2-a)=2a-2,
∵a≥4,
故2a-2≥6,
當(dāng)a=4,b=c=-1時,滿足題設(shè)條件且使不等式等號成立,
故|a|+|b|+|c|的最小值為6.
故選:B.
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【題目】如圖,已知在中,,分別是,的中點,是對角線,交延長線于.若四邊形是菱形,則四邊形是( )
A. 平行四邊形 B. 矩形
C. 菱形 D. 正方形
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【題目】一個二次函數(shù)圖象上部分點的橫坐標(biāo)x,縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表:
(1)求這個二次函數(shù)的表達式;
(2)求m的值;
(3)在給定的直角坐標(biāo)系中,畫出這個函數(shù)的圖象;
(4)根據(jù)圖象,寫出當(dāng)y<0時,x的取值范圍.
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【題目】閱讀下列例題的解答過程:解方程:3(x﹣2)2+7(x﹣2)+4=0.
解:設(shè) x﹣2=y,則原方程化為:3y2+7y+4=0.
∵a=3,b=7,c=4,∴b2﹣4ac=72﹣4×3×4=1.
∴y= =.∴y1=﹣1,y2=﹣ .
當(dāng) y=﹣1 時,x﹣2=﹣1,∴x=1;
當(dāng) y=﹣時,x﹣2=﹣,∴x= .
∴原方程的解為:x1=1,x2=.
(1)請仿照上面的例題解一元二次方程:2(x﹣3)2﹣5(x﹣3)﹣7=0;
(2)若(a2+b2)(a2+b2﹣2)=3,求代數(shù)式 a2+b2的值.
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【題目】綜合與實踐
如圖,為等腰直角三角形,,點為斜邊的中點,是直角三角形,.保持不動,將沿射線向左平移,平移過程中點始終在射線上,且保持直線于點,直線于點.
(1)如圖1,當(dāng)點與點重合時,與的數(shù)量關(guān)系是__________.
(2)如圖2,當(dāng)點在線段上時,猜想與有怎樣的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系,并對你的猜想結(jié)果給予證明;
(3)如圖3,當(dāng)點在的延長線上時,連接,若,則的長為__________.
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【題目】已知:如圖,E、F是四邊形ABCD的對角線AC上的兩點,AF=CE,DF=BE,DF∥BE.
求證:(1)△AFD≌△CEB.(2)四邊形ABCD是平行四邊形.
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【題目】某校研究學(xué)生的課余愛好情況,采取抽樣調(diào)查的方法,從閱讀、運動、娛樂、上網(wǎng)等四個方面調(diào)查了若干名學(xué)生的興趣愛好,并將調(diào)查結(jié)果繪制成下面兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請你根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題:
(1)在這次調(diào)查中,一共調(diào)查了 名學(xué)生;
(2)補全條形統(tǒng)計圖;
(3)若該校共有1500名學(xué)生,估計愛好運動的學(xué)生有 人;
(4)在全校同學(xué)中隨機選取一名學(xué)生參加演講比賽,用頻率估計概率,則選出的恰好是愛好閱讀的學(xué)生的概率是 .
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=5,AC=4,∠A=60°,若邊AC的垂直平分線DE交AB于點D,連接CD,則△BDC的周長為( )
A. 8 B. 9 C. 5+ D. 5+
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【題目】如圖,已知 AB 是⊙O 的直徑,點 C、D 在⊙O 上,過 D 點作 PF∥AC交⊙O 于 F,交 AB 于點 E,∠BPF=∠ADC
(1)求證:AEEB=DEEF.
(2)求證:BP 是⊙O 的切線:
(3)當(dāng)?shù)陌霃綖?/span>,AC=2,BE=1 時,求 BP 的長,
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