Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸的一個交點為A（3，0），與y軸的交點為B（0，3），其頂點為C，對稱軸為x=1．
（1）求拋物線的解析式；
（2）已知點M為y軸上的一個動點，當(dāng)△ABM為等腰三角形時，求點M的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點,二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

專題：

分析：（1）直接根據(jù)題意列出關(guān)于a、b、c的方程組，解方程組即可解決問題．
（2）運用分類討論的數(shù)學(xué)思想，根據(jù)等腰三角形的定義，分類討論，數(shù)形結(jié)合，即可解決問題．

解答：解：（1）由題意得：

9a+3b+c=0 - b 2a =1 c=3

，
解該方程組得：a=-1，b=2，c=3，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．
（2）由題意得：OA=3，OB=3；
由勾股定理得：AB²=3²+3²，
∴AB=3

2

．
當(dāng)△ABM為等腰三角形時，
①若AB為底，
∵OA=OB，
∴此時點O即為所求的點M，
故點M的坐標(biāo)為M（0，0）；
②若AB為腰，
以點B為圓心，以3

2

長為半徑畫弧，交y軸于兩點，
此時兩點坐標(biāo)為M（0，3

2

-3）或M（0，3

2

+3），
以點A為圓心，以3

2

長為半徑畫弧，交y軸于點（0，-3）；
綜上所述，當(dāng)△ABM為等腰三角形時，點M的坐標(biāo)分別為
（0，0）、（0，3

2

-3）、（0，3

2

+3）、（0，-3）．

點評：該題主要考查了拋物線與x軸的交點、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式等知識點及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是靈活運用、大膽猜測、科學(xué)解答．