Question

如圖，已知拋物線y=-

1

4

x²+bx+4與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C．若已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為A（-2，0）．點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)△ACQ為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：

分析：首先求出拋物線解析式，然后利用配方法或利用公式x=-

b

2a

求出對(duì)稱軸方程，由此可設(shè)可設(shè)點(diǎn)Q（3，t），若△ACQ為等腰三角形，則有三種可能的情形，需要分類討論，逐一計(jì)算，避免漏解．

解答：解：∵拋物線y=-

1

4

x²+bx+4的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0），
∴-

1

4

×（-2）²+b×（-2）+4=0，
解得：b=

3

2

，
∴拋物線解析式為 y=-

1

4

x²+

3

2

x+4，
又∵y=-

1

4

x²+

3

2

x+4=-

1

4

（x-3）²+

25

4

，
∴對(duì)稱軸方程為：x=3，
∴可設(shè)點(diǎn)Q（3，t），則可求得：
AC=

22+42

=2

5

，
AQ=

52+t2

，
CQ=

32+(t-4)2

．
i）當(dāng)AQ=CQ時(shí)，
有

52+t2

=

32+(t-4)2

，
即25+t²=t²-8t+16+9，
解得t=0，
∴Q₁（3，0）；
ii）當(dāng)AC=AQ時(shí)，
有

52+t2

=2，
即t²=-5，此方程無實(shí)數(shù)根，
∴此時(shí)△ACQ不能構(gòu)成等腰三角形；
iii）當(dāng)AC=CQ時(shí)，
有2

5

=

32+(t-4)2

，
整理得：t²-8t+5=0，
解得：t=4±，
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為：Q₂（3，4+），Q₃（3，4-）．
綜上所述，存在點(diǎn)Q，使△ACQ為等腰三角形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q₁（3，0），Q₂（3，4+

11

），Q₃（3，4-

11

）．
故答案為：（3，0），（3，4+

11

），（3，4-

11

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、勾股定理、等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)．難點(diǎn)在于符合條件的等腰三角形△ACQ可能有多種情形，需要分類討論．