Question

如圖，矩形框OABC四邊都具有反射光線的能力．點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2）．由點(diǎn)B射出的一束光線BD交OA邊于點(diǎn)D．記點(diǎn)D的坐標(biāo)為（a，0），光線BD經(jīng)OA邊反射或經(jīng)OA邊、OC邊連續(xù)反射，與BC邊圍成的封閉圖形的面積記為S，
（1）若點(diǎn)D為OA的中點(diǎn)，求S的值．
（2）求S關(guān)于a的函數(shù)解析式．
（3）若S=

10

3

，求光線在矩形OABC內(nèi)的周長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）作出入射光線BD，反射光線DE及法線DF，通過證明△ODE≌△ADB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)就可以求出S的值；
（2）如圖2，如圖3，當(dāng)0＜a＜2和2≤a＜4時(shí)分兩種情況進(jìn)行討論求得S關(guān)于a的解析式；
（3）將S=

10

3

分別代入（2）中所求的S關(guān)于a的函數(shù)解析式，求出符合題意的a值，再運(yùn)用勾股定理即可求出光線在矩形OABC內(nèi)的周長(zhǎng)．

解答：解：（1）作出入射光線BD，反射光線DE及法線DF，
由光的反射定律，得∠FDE=∠FDB，
又∵∠FDO=∠FDA=90°，
∴∠ODE=∠ADB，
∵點(diǎn)D為OA的中點(diǎn)，
∴OD=AD，
∵四邊形OABC是矩形，
∴OC=AB，∠COD=∠BAD=90°．
∵在△ODE和△ADB中，

∠ODE=∠ADB OD=AD ∠DOE=∠DAB

，
∴△ODE≌△ADB（ASA），
∴OE=AB，
∴OE=OC，
∴點(diǎn)E點(diǎn)C重合，
∴S=

4×2

2

=4；

（2）如圖2，當(dāng)2≤a＜4時(shí)，作DF⊥BC于F，
則∠DFE=∠DFB=90°．
∵在△DFE和△DFB中，

∠EDF=∠BDF DF=DF ∠DFE=∠DFB

，
∴△DFE≌△DFB（ASA），
∴S_△DEF=S_△DBF．
∵DA=4-a，
∴BE=2BF=2DA=2（4-a），
∴S=

1

2

×BE×DF=

2(4-a)

2

×2=8-2a；
如圖3，當(dāng)0＜a＜2時(shí)，
∵∠EDO=∠BDA，∠DOE=∠DAB=90°，
∴△DOE∽△DAB，
∴

DO

DA

=

OE

AB

，
∴

a

4-a

=

OE

2

，
∴OE=

2a

4-a

，
∴CE=2-

2a

4-a

=

8-4a

4-a

．
∵∠CEF=∠OED，∠ECF=∠EOD=90°，
∴△ECF∽△EOD，
∴

CE

OE

=

CF

OD

，
∴

8-4a 4-a

2a 4-a

=

CF

a

，
∴CF=4-2a．
∴S=S_矩形OABC-S_△ABD-S_△OED-S_△CEF
=8-

2(4-a)

2

-

a• 2a 4-a

2

-

8-4a 4-a (4-2a)

2

=8-（4-a）-

a2

4-a

-

16-16a+4a2

4-a

=4+a-

16-16a+5a2

4-a

，
即S=4+a-

16-16a+5a2

4-a

；

（3）當(dāng)S=

10

3

時(shí)，
則8-2a=

10

3

，
解得a=

7

3

，
此時(shí)光線的周長(zhǎng)為：BD+DE=2BD=

4+ 25 9

×2=

2 61

3

；
4+a-

16-16a+5a2

4-a

=

10

3

，
方程兩邊同乘3（4-a），整理得9a²-29a+20=0，
解得a₁=1，a₂=

20

9

（不合題意舍去），
當(dāng)a=1時(shí)，光線的周長(zhǎng)為：BD+DE+EF=

4+9

+

1+ 4 9

+

4+ 16 9

=

13

+

13

3

+

2 13

3

=2

13

．
綜上可知，若S=

10

3

，光線在矩形OABC內(nèi)的周長(zhǎng)為

2 61

3

或2

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，物理學(xué)中光的反射定律：反射角等于入射角，全等三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，綜合性較強(qiáng)，有一定難度，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．