【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,已知AOB是等邊三角形,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(0,4),點(diǎn)B在第一象限,點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接AP,并把AOP繞著點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),使邊AO與AB重合,得到ABD.

(1)求直線AB的解析式;

(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(,0)時(shí),求此時(shí)DP的長(zhǎng)及點(diǎn)D的坐標(biāo);

(3)是否存在點(diǎn)P,使OPD的面積等于?若存在,請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】解:(1)如圖1,過(guò)點(diǎn)B作BEy軸于點(diǎn)E,作BFx軸于點(diǎn)F。

由已知得:BF=OE=2,。

點(diǎn)B的坐標(biāo)是(,2)。

設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b(k≠0),則有

,解得。

直線AB的解析式是

(2)∵△ABD由AOP旋轉(zhuǎn)得到,

∴△ABD≌△AOPAP=AD,DAB=PAO。

∴∠DAP=BAO=60°。∴△ADP是等邊三角形。

。

圖2,過(guò)點(diǎn)D作DHx軸于點(diǎn)H,延長(zhǎng)EB交DH于點(diǎn)G,則BGDH。

在RtBDG中,BGD=90°,DBG=60°,

BG=BDcos60°=.DG=BDsin60°=

OH=EG=,DH=。

點(diǎn)D的坐標(biāo)為(,。

(3)存在。

假設(shè)存在點(diǎn)P,在它的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,使OPD的面積等于。

設(shè)點(diǎn)P為(t,0),下面分三種情況討論:

當(dāng)t>0時(shí),如2,BD=OP=t,DG=t,DH=2+t。

∵△OPD的面積等于,

解得(舍去)。

點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(,0)。

②∵當(dāng)D在x軸上時(shí),如答圖3,

根據(jù)銳角三角函數(shù)求出BD=OP=,

當(dāng)<t≤0時(shí),如1,BD=OP=﹣t,DG=t,

GH=BF=2﹣(t)=2+t

∵△OPD的面積等于,,解得。

點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(,0),點(diǎn)P3的坐標(biāo)為(,0)。

當(dāng)t≤時(shí),如4,BD=OP=﹣t,DG=t,

DH=t﹣2。

∵△OPD的面積等于,

,解得(舍去)。

點(diǎn)P4的坐標(biāo)為(,0)。

綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為P1,0)、P2,0)、P3,0)、

P4,0)

解析(1)過(guò)點(diǎn)B作BEy軸于點(diǎn)E,作BFx軸于點(diǎn)F.依題意得BF=OE=2,利用勾股定理求出OF,然后可得點(diǎn)B的坐標(biāo).設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b,把已知坐標(biāo)代入可求解。

(2)由ABD由AOP旋轉(zhuǎn)得到,ABD≌△AOP,AP=AD,DAB=PAO,DAP=BAO=60°,ADP是等邊三角形,利用勾股定理求出DP.在RtBDG中,BGD=90°,DBG=60°.利用三角函數(shù)求出BG=BDcos60°,DG=BDsin60°.然后求出OH,DH,然后求出點(diǎn)D的坐標(biāo)。

(3)分三種情況進(jìn)行討論:

當(dāng)P在x軸正半軸上時(shí),即t>0時(shí)

當(dāng)P在x軸負(fù)半軸,但D在x軸上方時(shí);即<t≤0時(shí)

當(dāng)P在x軸負(fù)半軸,D在x軸下方時(shí),即t≤時(shí)

綜合上面三種情況即可求出符合條件的t的值。

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】問(wèn)題:探究函數(shù)y=|x|﹣2的圖象與性質(zhì).

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下面是小華的探究過(guò)程,請(qǐng)補(bǔ)充完整:

(1)在函數(shù)y=|x|﹣2中,自變量x可以是任意實(shí)數(shù);

(2)如表是yx的幾組對(duì)應(yīng)值.

x

﹣3

﹣2

﹣1

0

1

2

3

y

1

0

﹣1

﹣2

﹣1

0

m

m=   ;

②若A(n,8),B(10,8)為該函數(shù)圖象上不同的兩點(diǎn),則n=   ;

(3)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,描出以上表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn).并根據(jù)描出的點(diǎn),畫出該函數(shù)的圖象;

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