Question

【題目】已知，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖①所示，A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為線段AB上一動點(diǎn)，連接DE經(jīng)過點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖①，將△ADE以DE為軸翻折，點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)G恰好落在拋物線的對稱軸上時，求G點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動時，拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)F，使得以C、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（﹣1， ）或（﹣1， ）；（3）F（﹣1，4）或（﹣1，﹣4）或（﹣1，12）．

【解析】試題分析：（1）把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，解方程組即可．

（2）作DM⊥拋物線的對稱軸于點(diǎn)M，設(shè)G點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，n），由翻折的性質(zhì)，得到BD=DG；然后求出點(diǎn)D、點(diǎn)M的坐標(biāo)，以及BC、BD的值；在Rt△GDM中，由勾股定理，求出n的值，即可求出G點(diǎn)的坐標(biāo)．

（3）分三種情況討論：①當(dāng)CD∥EF，且點(diǎn)E在x軸的正半軸時；②當(dāng)CD∥EF，且點(diǎn)E在x軸的負(fù)半軸時；③當(dāng)CE∥DF時；然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)各是多少即可．

試題解析：（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（﹣6，0），B（4，0），∴，解得，∴拋物線的解析式是： ；

（2）如圖①，作DM⊥拋物線的對稱軸于點(diǎn)M，

，

設(shè)G點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，n），由翻折的性質(zhì)，可得BD=DG，∵B（4，0），C（0，8），點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2，4），∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（﹣1，4），DM=2﹣（﹣1）=3，∵B（4，0），C（0，8），∴BC==，∴BD=，在Rt△GDM中，32+（4﹣n）2=20，解得n=，∴G點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1， ）或（﹣1， ）；

（3）拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)F，使得以C、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．

①當(dāng)CD∥EF，且點(diǎn)E在x軸的正半軸時，如圖②，

，

由（2），可得點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2，4），設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（c，0），點(diǎn)F的坐標(biāo)是（﹣1，d），則，解得，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是（﹣1，4），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，0）；

②當(dāng)CD∥EF，且點(diǎn)E在x軸的負(fù)半軸時，如圖③，

，

由（2），可得點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2，4），設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（c，0），點(diǎn)F的坐標(biāo)是（﹣1，d），則，解得，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是（﹣1，﹣4），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（﹣3，0）；

③當(dāng)CE∥DF時，如圖④，

，

由（2），可得點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2，4），設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（c，0），點(diǎn)F的坐標(biāo)是（﹣1，d），

則，解得： ，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是（﹣1，12），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（3，0）；

綜上，可得拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)F，使得以C、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，點(diǎn)F的坐標(biāo)是（﹣1，4）、（﹣1，﹣4）或（﹣1，12）．