Question

如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F(xiàn)是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)，且保持AD=CE．連接DE、DF、EF．在此運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中，下列結(jié)論：
①△DFE是等腰直角三角形；②四邊形CDFE不可能為正方形；③△CDE與△DAF不可能全等；④四邊形CDFE的面積保持不變；⑤△CDE面積的最大值為8．
其中正確的結(jié)論是（　�。�

• A、①②③
• B、①③④
• C、③④⑤
• D、①④⑤

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：作常規(guī)輔助線連接CF，由SAS定理可證△CFE和△ADF全等，從而可證∠DFE=90°，DF=EF．所以△DEF是等腰直角三角形；由割補(bǔ)法可知四邊形CDFE的面積保持不變；
△DEF是等腰直角三角形DE=

2

DF，當(dāng)DF與BC垂直，即DF最小時(shí)，DE取最小值4

2

，△CDE最大的面積等于四邊形CDEF的面積減去△DEF的最小面積．

解答：解：連接CF；
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB；
∵AD=CE，
∴△ADF≌△CEF；
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；
∵∠AFD+∠CFD=90°，
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形．
當(dāng)D、E分別為AC、BC中點(diǎn)時(shí)，四邊形CDFE是正方形．
∵△ADF≌△CEF，
∴S_△CEF=S_△ADF
∴S_{四邊形CEFD}=S_△AFC．
由于△DEF是等腰直角三角形，因此當(dāng)DE最小時(shí)，DF也最小；
即當(dāng)DF⊥AC時(shí)，DE最小，此時(shí)DF=

1

2

BC=4．
∴DE=

2

DF=4

2

；
當(dāng)△CEF面積最大時(shí)，此時(shí)△DEF的面積最�。�
此時(shí)S_△CEF=S_{四邊形CEFD}-S_△DEF=S_△AFC-S_△DEF=16-8=8．
則結(jié)論正確的是①④⑤．
故選D

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．