【題目】如圖①,AD為等腰直角△ABC的高,點A和點C分別在正方形DEFG的邊DG和DE上,連接BG、AE.
(1)求證:BG=AE;
(2)將正方形DEFG繞點D旋轉(zhuǎn),當(dāng)線段EG經(jīng)過點A時,(如圖②所示)
①求證:BG⊥GE;
②設(shè)DG與AB交于點M,若AG=6,AE=8,求DM的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)①證明見解析;②DM=,
【解析】試題分析:(1)如圖①,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AD=BD,再根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠GDE=90°,DG=DE,則可根據(jù)“SAS“判斷△BDG≌△ADE,于是得到BG=AE;
(2)①如圖②,先判斷△DEG為等腰直角三角形得到∠1=∠2=45°,再由△BDG≌△ADE得到∠3=∠2=45°,則可得∠BGE=90°,所以BG⊥GE;
②由AG=6,則AE=8,即GE=14,利用等腰直角三角形的性質(zhì)得DG=GE=7 ,由(1)的結(jié)論得BG=AE=8,則根據(jù)勾股定理得AB=10,接著由△ABD為等腰直角三角形得到∠4=45°,BD=AB=5,然后證明△DBM∽△DGB,則利用相似比可計算出DM;
試題解析:
(1)證明:如圖①,
∵AD為等腰直角△ABC的高,
∴AD=BD,
∵四邊形DEFG為正方形,
∴∠GDE=90°,DG=DE,
在△BDG和△ADE中
,
∴△BDG≌△ADE,
∴BG=AE;
(2)①證明:如圖②,
∵四邊形DEFG為正方形,
∴△DEG為等腰直角三角形,
∴∠1=∠2=45°,
由(1)得△BDG≌△ADE,
∴∠3=∠2=45°,
∴∠1+∠3=45°+45°=90°,即∠BGE=90°,
∴BG⊥GE;
②解:∵AG=6,則AE=8,即GE=14,
∴DG=GE=7,
∵△BDG≌△ADE,
∴BG=AE=8,
在Rt△BGA中,AB==10,
∵△ABD為等腰直角三角形,
∴∠4=45°,BD=AB=5,
∴∠3=∠4,
而∠BDM=∠GDB,
∴△DBM∽△DGB,
∴BD:DG=DM:BD,即 5:7=DM:5,
∴DM=,
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【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,D為BC的中點,若動點E以1cm/s的速度從A點出發(fā),沿著A→B→A的方向運動,設(shè)E點的運動時間為t秒(0≤t≤8),連接DE,當(dāng)△BDE是直角三角形時,t的值為_____.
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【題目】如圖1所示,已知溫滬動車鐵路上有A、B、C三站,B、C兩地相距 千米,甲、乙兩列動車分別從B、C兩地同時沿鐵路勻速相向出發(fā)向終點C、B站而行,甲、乙兩動車離A地的距離 (千米)與行駛時間表 (時)的關(guān)系如圖2所示,根據(jù)圖象,解答以下問題:
(1) 填空:路程 ________________,路程 ________________,點 的坐標(biāo)為________________.
(2) 求動車甲離A地的距離 與行駛時間 之間的函數(shù)關(guān)系式.
(3) 補全動車乙的大致的函數(shù)圖象.(直接畫出圖象)
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【題目】(1)在下列橫線上用含有a,b的代數(shù)式表示相應(yīng)圖形的面積.
① ; ② ; ③ ; ④ .
(2)通過拼圖,你發(fā)現(xiàn)前三個圖形的面積與第四個圖形面積之間有什么關(guān)系?請用數(shù)學(xué)式子表示: ;
(3)利用(2)的結(jié)論計算992+2×99×1+1的值.
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【題目】在□ABCD中,E、F分別是AB、CD的中點,AF與DE相交于點G,CE與BF相交于點H.
(1)求證:四邊形EHFG是平行四邊形;
(2)□ABCD應(yīng)滿足什么條件時,四邊形EHFG是矩形?并說明理由;
(3)□ABCD應(yīng)滿足什么條件時,四邊形EHFG是正方形?(不要說明理由).
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【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,有下列結(jié)論:①DE=DC;②∠BDE=∠ADC;③AB=2AC;④圖中共有兩對全等三角形.其中正確的是:____________(填序號即可).
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【題目】如圖,正方形ABCD中,AB=4,點E是對角線AC上的一點,連接DE.過點E作EF⊥ED,交AB于點F,以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG,連接AG.
(1)求證:矩形DEFG是正方形;
(2)求AG+AE的值;
(3)若F恰為AB中點,連接DF交AC于點M,請直接寫出ME的長.
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【題目】某校決定對學(xué)生感興趣的球類項目(A:足球,B:籃球,C:排球,D:羽毛球,E:乒乓球)進(jìn)行問卷調(diào)查,學(xué)生可根據(jù)自己的喜好選修一門,李老師對某班全班同學(xué)的選課情況進(jìn)行統(tǒng)計后,制成了兩幅不完整的統(tǒng)計圖(如圖).
(1)該班學(xué)生人數(shù)有 人;
(2)將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)若該校共有學(xué)生3500名,請估計有多少人選修足球?
(4)該班班委5人中,1人選修籃球,3人選修足球,1人選修排球,李老師要從這5人中任選2人了解他們對體育選修課的看法,請你用列表或畫樹狀圖的方法,求選出的2人恰好1人選修籃球,1人選修足球的概率.
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【題目】探索、研究:儀器箱按如圖方式堆放(自下而上依次為第1層、第2層、…),受堆放條件限制,堆放時應(yīng)符合下列條件:每層堆放儀器箱的個數(shù)a與層數(shù)n之間滿足關(guān)系式a=n32n+247,1n<16,n為整數(shù)。
(1)例如,當(dāng)n=2時,a=232×2+247=187,則a=___,a=___;
(2)第n層比第(n+1)層多堆放多少個儀器箱;(用含n的代數(shù)式表示)
(3)假設(shè)堆放時上層儀器箱的總重量會對下一層儀器箱產(chǎn)生同樣大小的壓力,壓力單位是牛頓,設(shè)每個儀器箱重54 牛頓,每個儀器箱能承受的最大壓力為160牛頓,并且堆放時每個儀器箱承受的壓力是均勻的。
①若儀器箱僅堆放第1、2兩層,求第1層中每個儀器箱承受的平均壓力;
②在確保儀器箱不被損壞的情況下,儀器箱最多可以堆放幾層?為什么?
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