Question

【題目】探索、研究：儀器箱按如圖方式堆放(自下而上依次為第1層、第2層、…)，受堆放條件限制，堆放時應符合下列條件：每層堆放儀器箱的個數(shù)a與層數(shù)n之間滿足關系式a=n32n+247，1n<16，n為整數(shù)。

(1)例如，當n=2時，a=232×2+247=187，則a=___，a=___；

(2)第n層比第(n+1)層多堆放多少個儀器箱;(用含n的代數(shù)式表示)

(3)假設堆放時上層儀器箱的總重量會對下一層儀器箱產(chǎn)生同樣大小的壓力，壓力單位是牛頓，設每個儀器箱重54 牛頓，每個儀器箱能承受的最大壓力為160牛頓，并且堆放時每個儀器箱承受的壓力是均勻的。

①若儀器箱僅堆放第1、2兩層，求第1層中每個儀器箱承受的平均壓力；

②在確保儀器箱不被損壞的情況下，儀器箱最多可以堆放幾層?為什么?

Answer 1

【答案】（1）112，91；（2）（31-2n）個；（3）①46.75N；②該儀器最多可以堆放5層.

【解析】

（1）把n=5，n=6分別代入n32n+247中進行計算.；（2）分別表示出n+1和n時的代數(shù)式，然后進行減法計算；（3）①根據(jù)公式分別求得第二層和第一層的個數(shù)，再根據(jù)第二層的總重量除以第一層的個數(shù)進行計算；②根據(jù)①中的方法進行估算，求得最多可以堆放的層數(shù)．

解：（1）當n=5時，a5=532×5+247=112，

當n=6時，a6=632×6+247=91；

（2）由題意可得，

n32n+247-[ (n+1)32(n+1)+247]

= n32n+247-(n2+2n+132n-32+247)

= n32n+247-n2-2n-1+32n+32-247

=31-2n（個）

答：第n層比第(n+1)層多堆放（31-2n）個儀器箱.

（3）①由題意得，

==46.75（N）

答：第1層中每個儀器箱承受的平均壓力是46.75N.

②該儀器箱最多可以堆放5層,理由如下.

當n=1時，a1=216，

當n=2時，a2=187，

當n=3時，a3=160，

當n=4時，a4=135，

當n=5時，a5=112，

當n=6時，a6=91，

當n=5時，第1層中每個儀器箱承受的平均壓力為：

=148.5<160（N）

當n=6時，第1層中每個儀器箱承受的平均壓力為：

=171.25>160（N）

所以，該儀器箱最多可以堆放5層.