Question

【題目】在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，且AC=16cm，BD=12cm；點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CO方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)Q作MQ∥BC，交BD于點(diǎn)M，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜5）．解答下列問題：

（1）求t為何值時(shí)，線段AQ、線段PM互相平分．
（2）設(shè)四邊形APQM的面積為Scm2 ， 求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；設(shè)菱形ABCD的面積為SABCD ， 求是否存在一個(gè)時(shí)刻t，使S：SABCD=2：5？如果存在，求出t，如果不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）求時(shí)刻t，使得以M、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1中，連接PM．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OA=OC=8，OB=OD=6，AB∥BC，

∵QM∥BC，

∴AP∥QM，

當(dāng)PA=QM時(shí)，四邊形AMQP是平行四邊形，此時(shí)AQ與PM互相平分．

在Rt△BOC中，BC= =10，

∵ = ，

∴ = ，

∴QM= （8﹣t），

∵PA=QM，

∴2t= （8﹣t），

∴t= ，

∴當(dāng)t= 時(shí)，AQ與PM相互平分

（2）解：不存在．理由如下：

如圖2中，作QH⊥AD于H，

∵△AOD∽△AHQ，

∴ = ，

∴ = ，

∴QH= （16﹣t），

∴S= [2t+ （8﹣t）] （16﹣t）=﹣ t2+ t+48，

∵S：SABCD=2：5，

∴ [2t+ （8﹣t）] （16﹣t）： ×16×12=2：5，

整理得3t2﹣8t﹣128=0

∴t=8或﹣ ，

∵0＜t＜5，

∴t=8或﹣ 都不符合題意

（3）解：①如圖3中，當(dāng)∠PMQ=90°時(shí)，

∵△MPD∽△AOD，

∴ = ，

∴ = ，

∴t= ．

②如圖4中，當(dāng)PQ⊥MQ時(shí)，

∵△APQ∽△AOD，

∴ = ，

∴ = ，

∴t= ，

綜上所述，當(dāng)t= s或 s時(shí)，△PQM是直角三角形

【解析】（1）當(dāng)AP=QM時(shí)，列出方程即可解決問題；
（2）不存在．理由如下：如圖2中，作QH⊥AD于H，由△AOD∽△AHQ，可得=,L列出關(guān)于t的方程，根據(jù)梯形的面積公式計(jì)算即可；
（3）分兩種情形①如圖3中，當(dāng)∠PMQ=90°時(shí)，②如圖4中，當(dāng)PQ⊥MQ時(shí)，分別利用相似三角形的性質(zhì)，列出方程即可解決問題。

【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用勾股定理的概念和梯形的定義，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行的四邊形是梯形．兩腰相等的梯形是等腰梯形即可以解答此題．