Question

已知關(guān)于x的方程（a+1）x²-2a²x+a³=0，是否存在負整數(shù)a，使方程有整數(shù)根？若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一元二次方程的整數(shù)根與有理根,立方公式,解一元二次方程-因式分解法,根的判別式

專題：存在型

分析：可分方程是一元一次方程和一元二次方程兩種情況進行討論：（1）若原方程是一元一次方程，可得到a的值，只需驗證方程的根是否是整數(shù)根即可；（2）若原方程是一元二次方程，由方程有整數(shù)根得根的判別式是整數(shù)的平方，故可設(shè)-a=n²（n為整數(shù)，且n≠0），把a=-n²代入原方程，然后運用因式分解法求出方程兩根（用n的代數(shù)式表示），根據(jù)題意（方程有整數(shù)根）就可確定n的值，進而得到a的值．

解答：解：（1）若原方程是一元一次方程，則a+1=0，即a=-1，
此時原方程為-2x-1=0，
解得：x=-

1

2

．
方程沒有整數(shù)根．
（2）若原方程是一元二次方程，則a+1≠0，即a≠-1，
∵a為負整數(shù)，∴a＜0，
∴根的判別式△=（-2a²）²-4（a+1）•a³=-4a³＞0，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，
若方程有整數(shù)根，
則△=-4a³=（2a）²•（-a）是整數(shù)的平方，
故可設(shè)-a=n²（n為整數(shù)，且n≠0），
∴原方程為（-n²+1）x²-2（-n²）²x+（-n²）³=0，
整理得：（1-n²）x²-2n⁴x-n⁶=0，
即[（1-n）x-n³]•[（1+n）x+n³]=0，
∴x₁=

n3

1-n

=

n3-1+1

1-n

=

(n-1)(n2+n+1)

1-n

+

1

1-n

=-n²-n-1+

1

1-n

，
x₂=-

n3

n+1

=-

n3+1-1

n+1

=-

(n+1)(n2-n+1)

n+1

+

1

n+1

=-n²+n-1+

1

n+1

．
∵x₁或x₂是整數(shù)，n為整數(shù)，n≠0，
∴1-n=-1或n+1=-1，
∴n=2或n=-2，
∴a=-4．
綜上所述：a的值為-4．

點評：本題考查了一元二次方程的整數(shù)根、用因式分解法解一元二次方程、根的判別式、立方和公式、立方差公式等知識，而將方程的根拆成整式與最簡分式的和是解決本題的關(guān)鍵．