Question

如圖，A、P、B、C是⊙O上的四點，∠APC=∠CPB=60°，
（1）判斷△ABC的形狀并證明你的結論．
（2）若⊙O的半徑為4cm，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：圓周角定理,等邊三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）直接根據圓周角定理即可得出結論．
（2）連接AO并延長交BC于點D，連接OC，由等邊三角形的性質可知AD⊥BC，∠OCD=30°，故可得出OD的長，根據三角形的面積公式即可得出結論．

解答：解：（1）∵A、P、B、C是⊙O上的四點，∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠APC=60°，∠CAB=∠CPB=60°，
∴△ABC是等邊三角形；

（2）連接AO并延長交BC于點D，連接OC，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AD⊥BC，∠OCD=30°，
∴OD=

1

2

OC=2cm，CD=OC•cos30°=4×

3

2

=2

3

cm，
∴AD=4+2=6（cm），BC=2CD=4

3

cm，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AD=

1

2

×4

3

×6=12

3

（cm²）．

點評：本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等是解答此題的關鍵．