Question

【題目】如圖，在中， 分別是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（ 不與 重合），且保持 ，以 為邊，在點(diǎn) A 的異側(cè)作正方形．

（1）試求的面積；

（2）當(dāng)邊 與 重合時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng)；

（3）設(shè) 與正方形 重疊部分的面積為，試求關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的范圍；

（4）當(dāng) 是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出 的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）12；（2）；（3）當(dāng)0 <x≤2時(shí)，，當(dāng)2 < x<5時(shí)，；（4）．

【解析】

（1）作底邊上的高，利用勾股定理求出高就可以求出面積．

（2）根據(jù)DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比即可求出邊DE的長(zhǎng)度．

（3）可以分為正方形在三角形內(nèi)部和不全在內(nèi)部?jī)煞N情況求解，全在內(nèi)部時(shí)，利用三角形相似得，求出DE，再求重疊部分正方形的面積，不全在內(nèi)部時(shí)先求出長(zhǎng)DE，再利用DG∥AH，求出寬．

（4）當(dāng)△BDG是等腰三角形時(shí)，分BD＝DG，BD＝BG，DG＝BG三種情況寫(xiě)出AD的長(zhǎng)．

解：（1）過(guò)A作,

，

,

（2）令此時(shí)正方形的邊長(zhǎng)為a，如圖

∵DE∥BC，

∴

即

,

（3）當(dāng)DE＝時(shí)，由△ADE∽△ABC得，解得AD＝2，

當(dāng)0 < x ≤ 2時(shí)，正方形全部在三角形內(nèi)部，由得：，DE＝，

∴(0 < x ≤ 2)；

當(dāng) 2 < x < 5 時(shí)，如圖，DE＝，BD=5-x

∵sin∠B=

即

∴DM=，

∴(2 < x < 5)；

（4）當(dāng)△BDG是等腰三角形時(shí)，設(shè)AD＝x，當(dāng)BD＝DG，

此時(shí)正方形不全部在三角形內(nèi)部，

∵BD＝5x，

由（3）可知DG＝DE＝，

∴5x=

解得x=,

∴AD＝；

當(dāng)DB＝BG時(shí)，BD=5-x,DG=

∵cos∠B=

即

∴BM==3-x

又DM=，

∴MG=DG-DM=-[]=2x-4

∴BG2=BM2+MG2=（3-x）2+（2x-4）2

∵DB＝BG

∴BD2=BG2,

即（5-x）2=（3-x）2+（2x-4）2

解得x=（x=0舍去）

∴AD=；

當(dāng)DG＝BG，同理DG2=BG2,

即（）2=（3-x）2+（2x-4）2

解得x=(x=5舍去)

∴AD＝；

故AD＝，，．