Question

過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的最短弦為什么垂直于這個(gè)點(diǎn)所在的直徑，怎么證明？

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理

專題：

分析：首先寫出已知與求證，進(jìn)而畫出圖形，利用勾股定理以及三角形邊角關(guān)系比較即可．

解答：解：如圖：在圓O內(nèi)有一點(diǎn)P，AB為直徑，過(guò)P點(diǎn)作AB的垂線交圓周與點(diǎn)C、D，垂足為P，
求證：為什么CD是經(jīng)過(guò)點(diǎn)P最短的弦．
證明：如圖所示：過(guò)點(diǎn)P任意作弦EF，過(guò)O作OQ⊥EF于點(diǎn)Q．連接OD、OE．
設(shè)圓O的半徑為R．
根據(jù)勾股定理，EQ²=R²-OQ²，PD²=R²-OP²
因?yàn)镺Q＜OP
所以O(shè)Q²＜OP²
所以EQ²＞PD²
所以EQ＞PD
因?yàn)镋F=2EQ，CD=2PD
所以EF＞CD
即CD是經(jīng)過(guò)點(diǎn)P最短的弦．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了垂徑定理以及勾股定理等知識(shí)，得出EQ²＞PD²是解題關(guān)鍵．