Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)A（-1，0）、C（0，4）兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P在第一象限的拋物線上，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，過(guò)點(diǎn)P向x軸做垂線交直線BC于點(diǎn)Q，設(shè)線段PQ的長(zhǎng)為m，求m與t之間的函數(shù)關(guān)系式并求出m的最大值；
（3）在（2）的條件下，拋物線上一點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為m的最大值，連接BD，在拋物線上找點(diǎn)E（不與點(diǎn)A、B、C重合），使得∠DBE=45°，求E點(diǎn)的坐標(biāo)．
（參考公式：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），x=-

b

2a

時(shí)，y最大（�。┲�=

4ac-b2

4a

）

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把A（-1，0）、C（0，4）兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入拋物線的解析式即可求出b和c的值，進(jìn)而得到拋物線的解析式；
（2）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+a，利用已知條件可求出直線的解析式，設(shè)P（t，-t²+4t+4），則Q（t，-t+4），所以m=PQ=-t²+4t+4-（-t+4）=-t²+4t=-（t-2）²+4，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出其最大值；
（3）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于H，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸于F，易求D的坐標(biāo)，設(shè)EF=3a，利用勾股定理可得：BF=5a，所以O(shè)F=5a-4，進(jìn)而得到F（4-5a，0），E（4-5a，3a），因?yàn)镋在拋物線上，所以3a=-（4-5a）²+3（4-5a）+4，解方程即可求出E的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)A（-1，0）、C（0，4）兩點(diǎn)，
∴

-1-b+c=0 c=4

，
∴

b=3 c=4

，
∴拋物線的解析式y(tǒng)=y=-x²+3x+4；
（2）令-x²+3x+4=0，解得x=-1或4，
∴B（4，0），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+a，
∴

4k+a=0 a=4

，
∴

k=-1 a=4

，
∴直線BC的解析式為y=-x+4，
設(shè)P（t，-t²+4t+4），則Q（t，-t+4），∴m=PQ=-t²+4t+4-（-t+4）=-t²+4t=-（t-2）²+4，
∴當(dāng)t=2時(shí)，m的最大值為4；
（3）∵拋物線上一點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為m的最大值，
∴-x²+3x+4=4，解得x=0（舍）或3，
∴D（3，4），
過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于H，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸于F，
在△CDB中，CD=3，CB=4

2

，∠DCB=45°，
∴CH=DH=

3 2

2

，BH=CB-CH=

5 2

2

，
∵∠DBE=∠CBO=45°，∴∠DBC=∠EBF，
∴tan∠DBC=

DH

HB

=

EF

BF

=

3

5

，
設(shè)EF=3a，
∴BF=5a，
∴OF=5a-4，
∴F（4-5a，0），E（4-5a，3a）
∵點(diǎn)E在拋物線上，∴3a=-（4-5a）²+3（4-5a）+4，
解得a=0（舍）或

22

25

，
∴E（-

2

5

，

66

25

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式、用配方法求二次函數(shù)的最值問(wèn)題、解一元二次方程、勾股定理的運(yùn)用、銳角三角函數(shù)的運(yùn)用，解題的難點(diǎn)在第三問(wèn)，突破口是正確的求出F和E點(diǎn)的坐標(biāo)．