Question

如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，O為原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（6，0），且頂點(diǎn)B（m，6）在直線上．

（1）求m的值和拋物線的解析式；

（2）如在線段OB上有一點(diǎn)C，滿足，在x軸上有一點(diǎn)D（10，0），連接DC，且直線DC與y軸交于點(diǎn)E．

①求直線DC的解析式；

②如點(diǎn)M是直線DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在x軸上方的平面內(nèi)有另一點(diǎn)N，且以O(shè)、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)．

 

 

Answer 1

（1）3，；（2）①；②（-5，）或（4，8）或.

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)B（m，6）在直線上可求出m的值，再用待定系數(shù)發(fā)即可求出此拋物線的解析式.

（2）①作CH⊥OA，BG⊥OA，再根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得出CH的長(zhǎng)，進(jìn)而求出C點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)D點(diǎn)坐標(biāo)用待定系數(shù)法即可求出直線DC解析式.

②根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求出符合條件的N點(diǎn)坐標(biāo)．

（1）∵頂點(diǎn)B（m，6）在直線上，∴m=3. ∴B（3，6）.

把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式得，，解得.

∴拋物線的解析式為：.

（2）①如圖1，作CH⊥OA，BG⊥OA，

∴CH∥BG，∴△OCH∽△OBG. ∴.

∵OC=2CB，∴，即CH=4. ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，4）.

∵D（10，0），∴根據(jù)題意，解得：.

∴直線DC解析式.

②如圖2：∵四邊形ENOM是菱形，∴OS=ES=OE=. ∴NK=.

∵ON∥DE，∴tan∠NOK=tan∠EDO=.∴OK=5.∴N1（-5，）.

如圖3：∵EM⊥OB，∴ON=2OC.

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，4），∴N2（4，8）.

③如圖4：∵直線DC解析式，∴E（0，5）.

設(shè)M（x，），

∵四邊形ENOM是菱形，∴EM=OE=5，即，解得x=.∴M.

∴可設(shè)N（，y），則，解得y=或y=（舍去）.∴N3.

綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-5，）或（4，8）或.

考點(diǎn)：1.二次函數(shù)綜合題；2.動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題；3.曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；4.相似三角形的判定和性質(zhì)；5.銳角三角函數(shù)定義；6.菱形的性質(zhì)；7.分類思想的應(yīng)用．