Question

如圖，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE于點D，BE⊥CE于點E．
（1）求證：△ACD≌△CBE；
（2）已知AD=4，DE=1，求EF的長．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）易證∠1=∠3，∠E=∠ADC=90°，即可證明△ACD≌△CBE；
（1）根據(jù)（1）中結(jié)論可得CE=AD，即可求得CD的值，易證△BEF∽△ADF，可得

BE

AD

=

EF

DF

，即可求得EF的長，即可解題．

解答：（1）證明：∵AD⊥CE，∴∠2+∠3=90°，
∵∠1+∠2=90°，∴∠1=∠3，
又∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=90°，
在△ACD和△CBE中，

∠ADC=∠E ∠3=∠1 AC=CB

，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；

（2）解：∵△ACD≌△CBE，
∴CE=AD=4，
∴CD=CE-DE=3，
∵∠E=∠ADF，∠BFE=∠AFD，
∴△BEF∽△ADF，
∴

BE

AD

=

EF

DF

，
設(shè)EF=x，則DF=1-x，
∴

3

4

=

x

1-x

，解得：x=

3

7

，
∴EF=

3

7

．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質(zhì)，考查了相似三角形的判定和相似三角形對應邊比例相等的性質(zhì)，本題中求證△ACD≌△CBE和△BEF∽△ADF是解題的關(guān)鍵．