Question

如圖，已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，DE垂直平分AB，F(xiàn)M垂直平分AD，GN垂直平分BD．求證：AF=FG=BG．

Answer 1

考點：線段垂直平分線的性質(zhì),含30度角的直角三角形

專題：證明題

分析：連接DF，DG，由DE垂直平分AB，可得AD=BD，然后由等邊對等角可得∠DBA=∠A=30°，同理，由FM垂直平分AD，GN垂直平分BD，可得AF=DF，DG=BG，可得∠ADF=∠A=30°，∠BDG=∠DBA=30°，然后利用外角的性質(zhì)可得：∠DFG=∠A+∠ADF=60°，∠DGF=∠BDG+∠DBG=60°，進而可得△DGF是等邊三角形，進而可證AF=FG=BG．

解答：證明：連接DF，DG，

∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠DBA=∠A=30°，
同理，
∵FM垂直平分AD，GN垂直平分BD，
∴AF=DF，DG=BG，
∴∠ADF=∠A=30°，∠BDG=∠DBA=30°，
∵∠DFG是△ADF的外角，∠DGF是△BDG的外角，
∴∠DFG=∠A+∠ADF=60°，∠DGF=∠BDG+∠DBG=60°，
∴∠FDG=60°，
∴△DGF是等邊三角形，
∴DF=FG=DG，
∴AF=FG=BG．

點評：此題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，三角形的內(nèi)角和定理等知識點的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是判斷△DFG是等邊三角形．