Question

已知m，n是方程l的兩個實數(shù)根，且m＜n．如圖，若拋物線l的圖象經(jīng)過點A（m，0），B（0，n）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設（1）中的拋物線與x軸的另一個交點為C，拋物線的頂點為D，求C，D的坐標和△BCD的面積；
（3）已知P是線段OC上一點，過點P作PH⊥x軸，交拋物線于點H，若直線BC把△PCH分成面積相等的兩部分，求P點的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先解方程求得A、B兩點的坐標，然后利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可；
（2）根據(jù)解方程直接寫出點C的坐標，然后確定頂點的坐標，過D作DE⊥x軸于E，利用S_△BCD=S_△CDE+S_梯形OBDE-S_△OBC求解即可；
（3）設P（a，0），則H（a，-a²-4a+5），由于直線BC把△PCH分成面積相等的兩部分，須且只須BC等分線段PH，亦即PH的中點(a，

-a2-4a+5

2

)在直線BC上．代入BC的解析式y(tǒng)=x+5即可求得a的值，從而寫出點C的坐標．

解答：解：（1）由方程x²-6x+5=0得x₁=1，x₂=5，
∵m＜n，
∴m=1，n=5，
∴A（1，0），B（0，5）．
把A（1，0），B（0，5）代入y=-x²+bx+c得：

-1+b+c=0 c=5

，
解得

b=-4 c=5

，
∴拋物線的解析式y(tǒng)=-x²-4x+5；

（2）C（-5，0），D（-2，9），
過D作DE⊥x軸于E，
∵易得E（-2，0）．
∴S_△BCD=S_△CDE+S_梯形OBDE-S_△OBC=

1

2

×3×9+

5+9

2

×2-

1

2

×5×5=15；

（3）設P（a，0），則H（a，-a²-4a+5），由于直線BC把△PCH分成面積相等的兩部分，
須且只須BC等分線段PH，亦即PH的中點(a，

-a2-4a+5

2

)在直線BC上．
∵易得直線BC的解析式為y=x+5，
∴

-a2-4a+5

2

=a+5，
解得a₁=-1，a₂=-5（不合題意，舍去），
∴P點坐標為（-1，0）．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法．在求有關(guān)動點問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果．