Question

【題目】如圖①，將正方形ABOD放在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，3），

（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ；

（2）若點(diǎn)P為對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，作等腰直角三角形APE，使∠PAE＝90°，如圖②，連接DE，則BP與DE的關(guān)系（位置與數(shù)量關(guān)系）是 ，并說(shuō)明理由；

（3）在（2）的條件下，再作等邊三角形APF，連接EF、FD，如圖③，在 P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中當(dāng)EF取最小值時(shí)，此時(shí)∠DFE＝ °；

（4）在（1）的條件下，點(diǎn) M在 x 軸上，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以 B、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（－3，2）；（2）BP與DE的關(guān)系是垂直且相等，證明詳見解析；（3）∠DFE＝ 150 °；（4）存在，點(diǎn)N坐標(biāo)為（＋2，1）或（－＋2，1）或（－3，－1）或（－－3，－1）或（－1，5）

【解析】

（1）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于F，證明△BEO≌△OFD，則可得OF=BE，OE=FD，根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)（2，3），可求得點(diǎn)B坐標(biāo)；

（2）如圖，通過(guò)證明△ABP≌△ADE(SAS)，可得∠4=∠5，BP=DE，進(jìn)而可證明∠BDE=90°，則，BP與DE垂直且相等得證；

（3）由等邊△APF和等腰直角△PAE，可知△AFE為等腰三角形，頂角為30°，且EF為底邊，所以當(dāng)腰AF最小時(shí)，底邊EF則最小，故而AP垂直BD時(shí)，AF=AP此時(shí)取最小值，此時(shí)易證△AFE≌△PFD，故而∠AFE=∠PFD=75°，根據(jù)周角為360°，即可計(jì)算∠EFD的度數(shù)；

（4）分情況討論，①當(dāng)BD為菱形的邊時(shí)，通過(guò)作圖構(gòu)造直角三角形，使用勾股定理先求對(duì)應(yīng)點(diǎn)M坐標(biāo)，再根據(jù)菱形的性質(zhì)及平移思想，求點(diǎn)N坐標(biāo)；②當(dāng)BD為菱形的對(duì)角線時(shí)，M與O重合，此時(shí)N與A重合，同樣構(gòu)造直角三角形，使用勾股定理求解即可．

解（1）：過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于F，

∵ABOD為正方形，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，3），

∴OB=OD，∠BE0=∠DFO，∠BOE=∠ODF，

∴△BEO≌△OFD，

∴OF=BE，OE=FD，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（－3，2），

故答案為：（－3，2）；

（2）BP與DE的關(guān)系是：垂直且相等；

證明：如圖，

∵正方形ABOD，

∴∠BAD＝90°，AB＝AD，

∵∠PAE＝90°，

∴∠BAD－∠3＝∠PAE－∠3，

即∠1＝∠2，

∵AP＝AE，

∴△ABP≌△ADE(SAS)，

∴∠4＝∠5， BP＝DE，

∵∠4＋∠6＝90°，

∴∠5＋∠6＝90°，

即∠BDE=90°，

∴BP⊥DE，

∴BP與DE垂直且相等，

故答案為：垂直且相等；

（3）∵△APF為等邊三角形，△PAE為等腰直角三角形，且∠PAE=90°，

∴AF=AE，∠FAE=30°，

即△AFE為等腰三角形，且EF為底邊，

∴當(dāng)EF最小時(shí)，AF=AE應(yīng)該取最小值，即AP應(yīng)當(dāng)取最小值，

∵四邊形ABOD為矩形，BD為ABOD一條對(duì)角線，

∴當(dāng)AP⊥BD時(shí)，EF有最小值，如下圖所示，

∴AP=PD=AE，∠PAD=∠APD=90°，

∴∠EAF=∠DPF=30°，

又∵AF=PF，

∴△AFE≌△PFE，

∴∠PFD=∠AFE=75°，

∴∠EFD=360°-75°-75°-60°=150°，

即，當(dāng)EF取最小值時(shí)，∠DFE=150°，

故答案為：150；

（4）∵D（2，3）,

∴OD＝，

∴BD＝，

①當(dāng)BD為菱形的邊時(shí)，

（Ⅰ）如圖，作BQ⊥x軸于Q，

MB＝BD＝，在Rt△BQM中根據(jù)勾股定理，可得M1（－3，0）、M2（－－3，0），

∵B向右平移5個(gè)單位再向上平移1個(gè)單位得到D，

∴N1（＋2，1）、N2（－＋2，1）；

（Ⅱ）如圖，作TP垂直x軸于P，

MD＝BD＝，在Rt△DPM中根據(jù)勾股定理，可得M3（＋2，0）、M4（－＋2，0），

∵D向左平移5個(gè)單位再向下平移1個(gè)單位得到B，

∴N3（－3，－1）、N4（－－3，－1）

②當(dāng)BD為菱形的對(duì)角線時(shí)，M與O重合，此時(shí)N與A重合，

如圖，作AJ∥x軸交y軸于R，過(guò)點(diǎn)D作JK⊥x軸垂足為K，交AJ于點(diǎn)J，

易證△ALD≌△DKO，

∴JK=5，

在Rt△ARO中使用勾股定理，即可求N5（－1，5），

綜上所述，點(diǎn)N坐標(biāo)為（＋2，1）或（－＋2，1）或（－3，－1）或（－－3，－1）或（－1，5）．