【題目】如圖,已知直線l與⊙O 相離,OA⊥l于點A,交⊙O 于點P,點B是⊙O上一點,連接BP并延長,交直線l于點C,使得AB=AC.
(1)求證:AB是⊙O的切線;
(2)若PC=2,OA=3,求線段PB的長.
【答案】(1)見解析;(2).
【解析】
(1)連結(jié)OB,如圖,由等腰三角形的性質(zhì)得∠1=∠2,∠4=∠5,由OA⊥AC得∠2+∠3=90°,加上∠3=∠4,易得∠5+∠1=90°,即∠OBA=90°,于是根據(jù)切線的判定定理可得AB是⊙O的切線;
(2)作OH⊥PB于H,如圖,根據(jù)垂徑定理得到BH=PH,設(shè)⊙O的半徑為r,則PA=OA-OP=3-r,根據(jù)勾股定理得到AC2=PC2-PA2=(2)2-(3-r)2,AB2=OA2-OB2=32-r2,所以(2)2-(3-r)2=32-r2,解得r=1,則PA=2,然后證明Rt△APC∽Rt△HPO,利用相似比可計算出PH=,于是得到PB=2PH=.
(1)證明:連結(jié)OB,如圖,
∵AB=AC,
∴∠1=∠2,
∵OA⊥AC,
∴∠2+∠3=90°,
∵OB=OP,
∴∠4=∠5,
而∠3=∠4,
∴∠5+∠2=90°,
∴∠5+∠1=90°,
即∠OBA=90°,
∴OB⊥AB,
∵OB為⊙O半徑
∴AB是⊙O的切線;
(2)作OH⊥PB于H,如圖,則BH=PH,
設(shè)⊙O的半徑為r,則PA=OA-OP=3-r,
在Rt△PAC中,
AC2=PC2-PA2=(2)2-(3-r)2,
在Rt△OAB中,AB2=OA2-OB2=32-r2,
而AB=AC,
∴(2)2-(3-r)2=32-r2
解得r=1,
∴PA=2,
∵∠3=∠4,
∴Rt△APC∽Rt△HPO,
∴,即,
∴PH=,
∴PB=2PH=.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,在△ABC的外側(cè)作直線AP,點C關(guān)于直線AP的對稱點為點D,連接AD,BD,其中BD交直線AP于點E.
(1)依題意補全圖形;
(2)若∠PAC=24°,求∠AEB的度數(shù);
(3)連結(jié)CE,若AE=,CE=1,求BE長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,某建筑工程隊利用一面墻(墻的長度不限),用40米長的籬笆圍成一個長方形的倉庫.
(1)求長方形的面積是150平方米,求出長方形兩鄰邊的長;
(2)能否圍成面積220平方米的長方形?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)
已知:把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖(1)擺放(點C與點E重合),點B、C(E)、F在同一條直線上.∠ACB = ∠EDF = 90°,∠DEF = 45°,AC = 8 cm,BC = 6 cm,EF = 9 cm.
如圖(2),△DEF從圖(1)的位置出發(fā),以1 cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動,在△DEF移動的同時,點P從△ABC的頂點B出發(fā),以2 cm/s的速度沿BA向點A勻速移動.當△DEF的頂點D移動到AC邊上時,△DEF停止移動,點P也隨之停止移動.DE與AC相交于點Q,連接PQ,設(shè)移動時間為t(s)(0<t<4.5).
解答下列問題:
(1)當t為何值時,點A在線段PQ的垂直平分線上?
(2)連接PE,設(shè)四邊形APEC的面積為y(cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式;是否存在某一時刻t,使面積y最。咳舸嬖,求出y的最小值;若不存在,說明理由.
(3)是否存在某一時刻t,使P、Q、F三點在同一條直線上?若存在,求出此時t的值;若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,直線和直線相交于點,直線與軸交于點,動點在線段和射線上運動.
(1)求點的坐標;
(2)求的面積;
(3)當的面積是的面積的時, 求出這時點的坐標.
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【題目】如圖1,已知線段BC=2,點B關(guān)于直線AC的對稱點是點D,點E為射線CA上一點,且ED=BD,連接DE,BE.
(1)依據(jù)題意補全圖1,并證明:△BDE為等邊三角形;
(2)若∠ACB=45°,點C關(guān)于直線BD的對稱點為點F,連接FD、FB,將△CDE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)度(0°<<360°)得, 點E的對應(yīng)點為E’,點C的對應(yīng)點為點C’.
(i)如圖2,當時 ,連接BC’.證明:EF=BC’;
(ii)如圖3,點M為DC中點,點P為線段C’E’上任意一點,試探究:在此旋轉(zhuǎn)過程中,線段PM長度的取值范圍?(直接寫出答案).
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【題目】有一挖寶游戲,有一寶藏被隨意藏在下面圓形區(qū)域內(nèi),(圓形區(qū)域被分成八等份)如圖.
(1)假如你去尋找寶藏,你會選擇哪個區(qū)域(區(qū)域;區(qū)域;區(qū)域)?為什么?在此區(qū)域一定能夠找到寶藏嗎?
(2)寶藏藏在哪兩個區(qū)域的可能性相同?
(3)如果埋寶藏的區(qū)域如圖(圖中每個方塊完全相同),(1)(2)的結(jié)果又會怎樣?
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【題目】如圖,E是正方形ABCD的邊AD上的動點,F是邊BC延長線上的一點,且BF=EF,AB=12,設(shè)AE=x,BF=y.
(1)當△BEF是等邊三角形時,求BF的長;
(2)求y與x的函數(shù)解析式,并寫出它的定義域;
(3)把△ABE沿著直線BE翻折,點A落在點A′處,試探索:△A′BF能否為等腰三角形?如果能,請求出AE的長;如果不能,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分線交BC于D,且CD=15,AC=30,則AB的長為( )
A. 30 B. 40 C. 50 D. 60
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