【題目】如圖1,已知線段BC=2,點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)是點(diǎn)D,點(diǎn)E為射線CA上一點(diǎn),且ED=BD,連接DE,BE.
(1)依據(jù)題意補(bǔ)全圖1,并證明:△BDE為等邊三角形;
(2)若∠ACB=45°,點(diǎn)C關(guān)于直線BD的對稱點(diǎn)為點(diǎn)F,連接FD、FB,將△CDE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度(0°<<360°)得, 點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)為E’,點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C’.
(i)如圖2,當(dāng)時(shí) ,連接BC’.證明:EF=BC’;
(ii)如圖3,點(diǎn)M為DC中點(diǎn),點(diǎn)P為線段C’E’上任意一點(diǎn),試探究:在此旋轉(zhuǎn)過程中,線段PM長度的取值范圍?(直接寫出答案).
【答案】(1)見解析;(2) (i)見解析;(ii)1≤PM≤2+1.
【解析】
(1)根據(jù)題畫圖,易證AC是BD的垂直平分線,得到ED=EB=BD,即可證明△BDE為等邊三角形;
(2)①易證∠EDB=∠FDC′=60°,∠EDF=BDC′,又DE=DB,DF=DC′于是△EDF≌△DBC′,得出結(jié)論;
②當(dāng)E′C′⊥DC,MP⊥E′C′,D、M、P、C共線時(shí),PM有最小值.當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E′重合,且P、D、M、C共線時(shí),PM有最大值.
(1)補(bǔ)全圖形,如圖1所示;
證明:由題意可知:射線CA垂直平分BD,
∴EB=ED,又∵ED=BD,
∴EB=ED=BD,∴△EBD是等邊三角形;
(2)(i)證明:如圖2:由題意可知∠BCD=90°,BC=DC
又∵點(diǎn)C與點(diǎn)F關(guān)于BD對稱,∴四邊形BCDF為正方形,
∴∠FDC=90°,CD=FD,
∵∠CDC′=α=30°,∴∠FDC′=60°,
由(1)△BDE為等邊三角形,
∴∠EDB=∠FDC′=60°,ED=BD,
∴∠EDF=∠BDC′,
又∵△E′DC′是由△EDC旋轉(zhuǎn)得到的,
∴C′D=CD=FD,
∴△EDF≌△DBC′(SAS),
∴EF=BC′;
(ii)線段PM的取值范圍是:1≤PM≤2+1.設(shè)射線CA交BD于點(diǎn)O,
I:如圖3(1)
當(dāng)E′C′⊥DC,MP⊥E′C′,D、M、P、C共線時(shí),PM有最小值.
此時(shí)DP=DO=,DM=1,
∴PM=DP-DM=1,
II:如圖3(2),
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E′重合,且P、D、M、C共線時(shí),
PM有最大值.
此時(shí)DP=DE′=DE=DB=2,DM=1,
∴PM=DP+DM=2+1,
∴線段PM的取值范圍是:1≤PM≤2+1.
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【題目】如圖,等邊三角形ABC的邊長為4,AD是BC邊上的中線,F是AD邊上的動(dòng)點(diǎn),E是AC邊上一點(diǎn).若AE=2,當(dāng)EF+CF取得最小值時(shí),∠ECF的度數(shù)為( )
A. 20° B. 25° C. 30° D. 45°
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【題目】已知關(guān)于的方程
(1)若方程有兩個(gè)有理數(shù)根,求整數(shù)的值
(2)若滿足不等式,試討論方程根的情況.
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【題目】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的一部分,x=﹣1是對稱軸,有下列判斷:①b﹣2a=0;②4a﹣2b+c<0;③a﹣b+c=﹣9a;④若(﹣3,y1),(,y2)是拋物線上兩點(diǎn),則y1>y2,其中正確的是( )
A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④
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【題目】如圖,已知直線l與⊙O 相離,OA⊥l于點(diǎn)A,交⊙O 于點(diǎn)P,點(diǎn)B是⊙O上一點(diǎn),連接BP并延長,交直線l于點(diǎn)C,使得AB=AC.
(1)求證:AB是⊙O的切線;
(2)若PC=2,OA=3,求線段PB的長.
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,AC和BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O的線段EF與一組對邊AB,CD分別相交于點(diǎn)E,F(xiàn).
(1)求證:AE=CF;
(2)若AB=2,點(diǎn)E是AB中點(diǎn),求EF的長.
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【題目】如圖,直線交軸于點(diǎn),過作軸,雙曲線過、兩點(diǎn)(點(diǎn)在已知直線上),若,則________.
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【題目】如圖,菱形ABCD中,AE⊥BC于點(diǎn)E,∠BAE=30°,AD=4cm.
(1)求菱形ABCD的各角的度數(shù);
(2)求AE的長.
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,對角線AC,BD交于點(diǎn)O,過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E,延長BC至F,使CF=BE,連接DF.
(1)求證:四邊形AEFD是矩形;
(2)若AC=4,∠ABC=60°,求矩形AEFD的面積.
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