【題目】拋物線,若a,b,c滿足b=a+c,則稱拋物線恒定拋物線.

1)求證:恒定拋物線必過x軸上的一個定點(diǎn)A

2)已知恒定拋物線的頂點(diǎn)為P,與x軸另一個交點(diǎn)為B,是否存在以Q為頂點(diǎn),與x軸另一個交點(diǎn)為C恒定拋物線,使得以PA,CQ為邊的四邊形是平行四邊形?若存在,求出拋物線解析式;若不存在,請說明理由.

【答案】1)證明見試題解析;(2,或

【解析】

試題(1)由恒定拋物線的定義,即可得出拋物線恒過定點(diǎn)(﹣1,0);

2)求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和B的坐標(biāo),由題意得出PA∥CQ,PA=CQ;存在兩種情況:QM⊥ACM,則QM=OP=,證明Rt△QMC≌Rt△POA,MC=OA=1,得出點(diǎn)Q的坐標(biāo),設(shè)拋物線的解析式為,把點(diǎn)A坐標(biāo)代入求出a的值即可;

頂點(diǎn)Qy軸上,此時點(diǎn)C與點(diǎn)B重合;證明△OQC≌△OPA,得出OQ=OP=,得出點(diǎn)Q坐標(biāo),設(shè)拋物線的解析式為,把點(diǎn)C坐標(biāo)代入求出a的值即可.

試題解析:(1)由恒定拋物線,得:b=a+c,即a﹣b+c=0,拋物線,當(dāng)x=﹣1時,y=0,∴“恒定拋物線必過x軸上的一個定點(diǎn)A﹣10);

2)存在;理由如下:∵“恒定拋物線,當(dāng)y=0時,,解得:x=±1∵A﹣10),∴B1,0);∵x=0時,y=,頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0),以PACQ為邊的平行四邊形,PA、CQ是對邊,∴PA∥CQ,PA=CQ

存在兩種情況:如圖1所示:作QM⊥ACM,則QM=OP=∠QMC=90°=∠POA,在Rt△QMCRt△POA中,∵CQ=PA,QM=OP,∴Rt△QMC≌Rt△POAHL),∴MC=OA=1,∴OM=2,點(diǎn)A和點(diǎn)C是拋物線上的對稱點(diǎn),∴AM=MC=1,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(﹣2,),設(shè)以Q為頂點(diǎn),與x軸另一個交點(diǎn)為C恒定拋物線的解析式為,把點(diǎn)A﹣10)代入得:a=,拋物線的解析式為:,即;

如圖2所示:頂點(diǎn)Qy軸上,此時點(diǎn)C與點(diǎn)B重合,點(diǎn)C坐標(biāo)為(10),∵CQ∥PA,∴∠OQC=∠OPA,在△OQC△OPA中,∵∠OQC=∠OPA,∠COQ=∠AOPCQ=PA,∴△OQC≌△OPAAAS),∴OQ=OP=,點(diǎn)Q坐標(biāo)為(0,),設(shè)以Q為頂點(diǎn),與x軸另一個交點(diǎn)為C恒定拋物線的解析式為,把點(diǎn)C1,0)代入得:a=拋物線的解析式為:;

綜上所述:存在以Q為頂點(diǎn),與x軸另一個交點(diǎn)為C恒定拋物線,使得以PA,CQ為邊的四邊形是平行四邊形,拋物線的解析式為:,或

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