Question

如圖1，正六邊形ABCDEF的邊長為a，P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，過P作PM∥AB交AF于M，作PN∥CD交DE于N．

（1）①∠MPN= ；

②求證：PM+PN=3a；

（2）如圖2，點(diǎn)O是AD的中點(diǎn)，連接OM、ON，求證：OM=ON；

（3）如圖3，點(diǎn)O是AD的中點(diǎn)，OG平分∠MON，判斷四邊形OMGN是否為特殊四邊形？并說明理由．

 

 

Answer 1

（1）①60°，②證明見解析；

（2）證明見解析；

（3）四邊形MONG是菱形，理由見解析．

【解析】

試題分析：（1）①運(yùn)用∠MPN=180°-∠BPM-∠NPC求解，②作AG⊥MP交MP于點(diǎn)G，BH⊥MP于點(diǎn)H，CL⊥PN于點(diǎn)L，DK⊥PN于點(diǎn)K，利用MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN求解，

（2）連接OE，由△OMA≌△ONE證明，

（3）連接OE，由△OMA≌△ONE，再證出△GOE≌△NOD，由△ONG是等邊三角形和△MOG是等邊三角形求出四邊形MONG是菱形．

試題解析：（1）①∵四邊形ABCDEF是正六邊形，

∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°.

又∴PM∥AB，PN∥CD，

∴∠BPM=60°，∠NPC=60°，

∴∠MPN=180°-∠BPM-∠NPC=180°-60°-60°=60°，

故答案為；60°．

②如圖1，作AG⊥MP交MP于點(diǎn)G，BH⊥MP于點(diǎn)H，CL⊥PN于點(diǎn)L，DK⊥PN于點(diǎn)K，

MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN.

∵正六邊形ABCDEF中，PM∥AB，作PN∥CD，

∵∠AMG=∠BPH=∠CPL=∠DNK=60°，

∴，

∵AM=BP，PC=DN，

∴MG+HP+PL+KN=a，GH=LK=a，

∴MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN=3a．

（2）如圖2，連接OE，

∵四邊形ABCDEF是正六邊形，AB∥MP，PN∥DC，

∴AM=BP=EN，

又∵∠MAO=∠NOE=60°，OA=OE，

在△ONE和△OMA中，

，

∴△OMA≌△ONE（SAS），

∴OM=ON．

（3）如圖3，連接OE，

由（2）得，△OMA≌△ONE，

∴∠MOA=∠EON，

∵EF∥AO，AF∥OE，

∴四邊形AOEF是平行四邊形，

∴∠AFE=∠AOE=120°，

∴∠MON=120°，

∴∠GON=60°，

∵∠GON=60°-∠EON，∠DON=60°-∠EON，

∴∠GOE=∠DON，

∵OD=OE，∠ODN=∠OEG，

在△GOE和∠DON中，

，

∴△GOE≌△NOD（ASA），

∴ON=OG，

又∵∠GON=60°，

∴△ONG是等邊三角形，

∴ON=NG，

又∵OM=ON，∠MOG=60°，

∴△MOG是等邊三角形，

∴MG=GO=MO，

∴MO=ON=NG=MG，

∴四邊形MONG是菱形．

考點(diǎn)：四邊形綜合題．