Question

【題目】如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)BF=t（0≤t≤2），線段EF的垂直平分線GH分別交邊CD，AB于點(diǎn)G，H，過E做EM⊥BC于點(diǎn)M，過G作GN⊥AB于點(diǎn)N．
（1）當(dāng)t≠2時(shí)，求證：△EMF≌△GNH；
（2）順次連接E、H、F、G，設(shè)四邊形EHFG的面積為S，求出S與自變量t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：

證明：∵四邊形ABCD是正方形，EM⊥BC，GN⊥AB，

∴EM=GN=AB=AD，

∵∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°，∠3=∠4，

∴∠1=∠2，

在△EMF和△GNH中，

，

∴△EMF≌△GNH．

（2）解：∵△EMF≌△GNH，

∴EF=GH，

∵BF=t，BM=2，

∴FM=2﹣t，

∴EF2=42+（2﹣t）2，

∵S= EFGH= （x﹣2）2+8，

∵0≤t≤2，

∴t=2時(shí)，S有最小值，最小值為8．

【解析】（1）只要證明EM=GN，∠1=∠2，即可利用ASA證明．（2）根據(jù)S= EFGH計(jì)算，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．